9.4（1）矩形的性质与判定（九大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级下册数学 《第9章 中心对称图形---平行四边形》 9.4（1）矩形的性质与判定 知识点一 矩形的定义 ●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2） 矩形必须具备两个条件： ①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 知识点二 矩形的性质 ●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. ★1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. ★2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. ★3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. ★4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 知识点三 矩形的判定 ●矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 知识点四 两条平行线间的距离 ★1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ★2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ★3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离. ★4、三种距离之间的区别与联系 距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线之间的距离. 联系 都是指线段的长度. ★5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.) 题型一 利用矩形的性质求线段长 【例题1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（　　） A． B．2 C．2 D．4 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DOAC＝2，再根据邻角互补求出∠AOD的度数，然后得到△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DOAC＝2， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝AO＝2， ∴ABAD＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOD是等边三角形是解题的关键． 解题技巧提炼 在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用. 【变式1-1】（2023秋•太原期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【分析】证出AD＝DE，设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵EA平分∠BED， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠DAE， ∴AD＝DE， 设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1， ∵CE2+CD2＝DE2， ∴（x﹣1）2+32＝x2， ∴x＝5， ∴AD