9.4 矩形、菱形、正方形（第5课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第9章 · 中心对称图形——平行四边形 9.4　矩形、菱形、正方形（5） 第5课时　正方形的性质与判定 1 学习目标 1.探索并证明正方形的判定定理和性质定理; 2.进一步体会有条理地推理的基本方法. 问题情境 把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，这是为什么呢？ B A D C 3 概念学习 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(square). B A D C 符号语言： ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴▱ABCD是正方形. 4 讨论与交流 正方形是矩形吗？是菱形吗？反之对不对？ 怎样使一个矩形变为正方形？怎样使一个菱形变为正方形呢？ 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 新知归纳 新知归纳 有一组邻边相等的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. B A D C 7 1. 一个矩形的两条对角线互相垂直，证明这个矩形是正方形. A B C D O 已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， 且AC⊥BD. 求证：矩形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BO=DO. 又∵AC⊥BD， ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形. 讨论与交流 2. 一个菱形的两条对角线相等，证明这个菱形是正方形. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， 且AC=BD. 求证：菱形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD， ∵AC＝BD， ∴AO＝BO. 又∵AC⊥BD， ∴∠OAB=∠OBA=45°. 同理：∠OBC=∠OCB=45°， ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=90°. ∴菱形ABCD是正方形. A B C D O 讨论与交流 新知归纳 B D 平行四边形 A C 有一个角是直角 对角线相等 B A D C 矩形 有一组邻边相等对角线垂直 B A D C 正方形 有一组邻边相等对角线垂直 B A D C 菱形 有一个角是直角 对角线相等 有一组邻边相等并且有一个角是直角 A B C D 四边形 有三个角是直角 A B C D 四边形 四边相等 新知巩固 1.下列命题正确的是 ( ) A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 11 新知巩固 2. 已知：▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可使▱ABCD成为正方形. (1)AB＝AD；　　　　 (2)AC＝BD； (3)∠BAD＝90°；　　 (4)AC⊥BD. A B C D O 12 讨论与交流 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 正方形具有矩形的性质同时又具有菱形的性质. 正方形的边、角和对角线各具有哪些性质呢？ 新知归纳 四个角都是直角 对边平行，四条边相等 对角线相等且互相垂直平分 边 角 对角线 对称性 A B C D 既是中心对称图形又是轴对称图形 新知归纳 边 角 对角线 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行四边相等 对边平行四边相等 对角相等邻角互补 四个角都是直角 对角相等邻角互补 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分 对角线相等且互相垂直平分 15 新知巩固 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打 ”√” 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 16 例题讲解 例 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′． 求证：四边形A′B′C′D′是正方形． A B C D A′ B′ C′ D′ 1 2 3 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. ∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′， ∴DA′＝A′B＝B′C＝C′D， ∴△AA′D≌△BB′A≌△CC′B′≌△DD′C′， ∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′， ∴四边形A′B′C′D′是菱形． 由△AA′D′≌△BB′A′，可得∠2＝∠3， ∵∠A=90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠D′A′B′＝90°， ∴菱形A′B′C′D′是正方形． 新知巩固 1. 已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE=BC，EF⊥