8.2.1 两角和与差的余弦（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

8.2.1 两角和与差的余弦 课程标准 学习目标 （1）能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； （2）能利用两角和与差的余弦公式进行化简求值； （3）两角和与差的公式的逆用、变形用。 （1）经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义； （2）能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系； （3）掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用，能利用两角和与差的余弦公式求值、计算。 知识点01 两角差的余弦公式 1、公式与简记：，简记为； 2、公式理解： （1）公式中的，是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。 如：，时，. （3）要掌握公式的逆用：如 【即学即练1】（23-24高三·河南周口·月考）已知，，，是第四象限角，则的值是（ ） A． B． C． D． 知识点02 两角和的余弦公式 1、公式与简记：，简记为； 2、公式理解记忆： （1）两角和的余弦公式中，也是任意角； （2）理顺公式间的联系：； （3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式，，用口诀“余余正正号相反”记忆公式。 【即学即练2】（23-24高一上·河南郑州·期末）已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型一：求两角和差的余弦公式】 例1．（23-24高二上·安徽淮北·期中）已知，均为锐角，且，，则（ ） A． B． C． D． 变式1-1．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知且都是第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高二上·陕西汉中·开学考试）已知角是第一象限角，，则（ ） A． B． C． D． 变式1-3．（22-23高一下·北京·月考）已知，，则 ． 变式1-4．（23-24高一上·海南·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若且，求的值. 【方法技巧与总结】 直接利用两角和差与的余弦公式求余弦值时，要深刻理解公式的特征，不要死记。 【题型二：求非特殊角的余弦值】 例2．（23-24高一上·湖北荆州·期末） ． 变式2-1．（22-23高一下·北京密云·期末）（ ） A． B． C． D． 变式2-2．（2023高一上·全国·专题练习）的值是（ ） A． B． C． D． 变式2-3．（22-23高一下·江西南昌·期末）设时刻，时针和分针所夹的角为，则（） A．0 B． C． D． 变式2-4．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值： （1）； （2）． 【方法技巧与总结】 将给特殊角转化为特殊角的和与差，正用公式直接求值。 【题型三：两角和差余弦公式的逆用】 例3．（23-24高一下·上海·假期作业）计算： . 变式3-1．（23-24高一上·广东深圳·期末）计算：（ ） A． B． C． D． 变式3-2．（22-23高一下·江苏苏州·期末）（ ） A． B． C． D． 变式3-3．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）=（ ） A． B． C． D． 变式3-4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则a的值为（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在两角和与差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的和或差视为一个整体。 【题型四：用和差余弦公式化简求值】 例4．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知角，满足，，则（ ） A． B． C． D． 变式4-1．（2022·全国·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，则 ． 变式4-3．（22-23高一下·山东聊城·期中）的值为 . 变式4-4．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）若，，则（ ） A．