2.3 从速度的倍数到向量的数乘6种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.3 从速度的倍数到向量的数乘6种常见考法归类 课程标准 学习目标 (1)通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． (2)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． (3)掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线． 1.理解数乘向量的概念及其几何意义； 2.掌握数乘向量的运算律，能进行简单运算. 3.掌握共线向量基本定理，并会简单应用； 4.掌握直线的向量表示. 知识点01 数乘运算的定义 1．定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0． (2)|λa|＝|λ||a|，这种运算称为向量的数乘． 2．λa几何意义： 当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 3．非零向量a的单位向量：±． 【即学即练1】下列算式中，正确的个数为（ ） ①；②；③. A． B． C． D． 【即学即练2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ） ①；②； ③若，则；④若，则． A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 【即学即练3】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练4】下列说法中，正确的是（ ） A．λ与的方向不是相同就是相反 B．若，共线，则＝λ C．若||＝2||，则＝±2 D．若＝±2，则||＝2|| 知识点02　数乘运算的运算律 向量的数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a； (2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 注：(1)对于非零向量，当λ＝时，λ表示方向上的单位向量． (2)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算．主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数． 【即学即练5】计算：（1）；（2）；（3）． 【即学即练6】下列运算正确的个数是（ ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 知识点03 共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb． 注：向量共线定理的理解注意点及主要应用 (1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ. (2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0. 【即学即练7】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ） ①，；②，；③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【即学即练8】设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 知识点04 直线的向量表示 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． 题型一：向量数乘的定义 例1．（2024高一上·辽宁锦州·期末）“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 变式1．（2024高一下·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 变式2．（2024高二下·北京·学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 变式3．（2024高三·新疆·学业考试）已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 题型二：向量的线性运算 例2．（2024高一·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 变式1．（2024高一下·全国·专题练习）等于（　　） A． B． C． D． 变式2．（2024高一下·全国·课时练习）下列运算正确的个数是（    ） ①； ②； ③. A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．（2024高一下·重庆·阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF中， ． 变式4．（2024高一·全国·专题练习）若，则 ．