1.3.1等比数列的概念及其通项公式 (第1课时)（教学设计）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

第一章 数列 3.1等比数列的概念及其通项公式(第1课时）教学设计 1、 课时教学内容 等比数列的概念、等比数列的通项公式、等比中项的概念、等比数列的性质． 2、 课时教学目标 1. 通过实例，理解等比数列的概念. 2. 掌握等比中项的概念并会应用. 3. 掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4. 灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 3、 教学重点、难点 1、教学重点 (1) 探索并掌握等比数列的通项公式 (2) 运用通项公式解决实际问题. 2、教学难点 (1) 等比数列的运算、等比数列的性质及应用． (2) 掌握等比数列的判断与证明方法． 环节一 创设情境，引入课题 问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 【师生活动】 学生独立思考、讨论交流． 教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数． 【设计意图】意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力． 问题2：下列问题中的数列有什么共同特征?类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 【师生活动】 学生独立观察，充分思考，交流讨论． 根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问． 【设计意图】该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念 实例分析 （1）你吃过拉面吗?拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合,如此反复几次,就拉成了许多根细面条. 这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条? 第1次是1根,后面每次捏合都将1根变为2根,故有 第2次捏合成(根); 第3次捏合成(根)； 第8次捏合成(根). 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 ① 对于数列①,从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是2 (2）星火化工厂今年产值为α万元,计划在以后5年中每年比上一年产值增长10%,试列出从今年起6年的产值(单位:万元). 第1年产值:; 第2年产值:; 第3年产值:; ... 第6年产值:. 故这6年的产值构成一个数列 . ② 对于数列②,从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是. 【师生活动】 教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，给出等比数列的定义． 【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学抽象素养的时机． 环节二 观察分析，感知概念 经比较,可以看出数列(1),(2)有如下的共同特征:从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是一个与项数无关的常数. 抽象概括 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母表示. 因此,数列①,②都是等比数列,它们的公比分别是2,1.1 例1以下数列中,哪些是等比数列? （1）; (2); (3)1,2,4,8,12,16,20; (4) 解：(1)是等比数列,公比; （2）是公比的等比数列; (3)因为,所以该数列不是等比数列; （4）当时,它是公比的等比数列;当时,它不是等比数列. 环节三 抽象概括，形成概念 如果已知一个数列是等比数列,且已知它的首项和公比,怎样求出它的通项公式? 设这个等比数列是 由等比数列的定义,可知: 从而, 由此得到 当时, 所以,这个公式对时也成立.这就是说: 若首项是,公比是,则等比数列的通项公式为 于是,本节开始给出的数列①,②的通项公式依次是 如图1-18 环节四 辨析理解 深化概念 例2一个等比数列的首项是2,第2项与第3项的和是12.求该数列的第8项的值. 解：设等比数列的首项为,公比为,则由已知,得 将①式代入②式,得 解得或. 当时, 当时, 1.在等比数列中,填写下表. 2.在等比数列中,公比为什么不为0?能否有某一项为0? 思考交流 根据指数函数的单调性,分析等比数列的增减性,填写表. 环节六 归纳总结,反思提升 问题 回顾本节课的研究过程，我们是怎样来开展对等比数列进行研究的？ 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列． (2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，