7.3.2 离散型随机变量的方差学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 一、学习目标 课程标准 学科素养 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念；(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差或标准差；(难点) 3．培养解决实际问题的能. 1．数学抽象； 2．数学建模； 3．数学运算 二、阅读教材(67～70页) 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.. 三、合作探究、深度学习 学习目标一：随机变量的方差与标准差的概念 问题2: 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表7.3-6和表7.3-7所示： 如何评价这两名同学的射击水平？ 思考1：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 归纳1：随机变量的方差与标准差： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)定义:一般地，设离散型随机变量X的概率分布列为： 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差， 记为. (2)意义：度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 统计中样本的方差是随样本的不同而变化的，而离散型随机变量X的方差是一个理论值，是一个常量而非变量. 思考2：问题2中两名同学射击成绩的方差和标准差分别是什么？他们的射击水平哪个更好？ 思考3：方差的计算可以简化吗？ 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 思考交流： (1)若x服从两点分布，你能求出吗？ (2)离散型随机变量的方差，对随机变量的稳定性有何影响？ 学习目标二：典例解析 例1抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差 例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示： (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ 思考4：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤是什么？ 学习目标三：巩固练习 1. 判断 (正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 若是常数，则. ( ) (2) 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于其均值的平均程度. ( ) (3) 若为常数，则 . ( ) 2. 设随机变量X的方差，则的值为 ( ) A． B． C． D． 3．已知随机变量的取值为. 若，，则( ) A． B． C． D． 4. 已知离散型随机变量X的可能取值为 ，，，且，则对应，，的概率，，分别 为 ， ， . 四、总结提升： 五、当堂检测： 1 2 3 4 1. 已知随机变量X的分布列为 求和. 2. 若随机变量X满足，其中c为常数，求. 3. 甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y (单位：cm)的分布列如下： 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断. 参考答案： 问题2：通过计算可得，. 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 观察下面X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考1：我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢? 思考2： 因为 (等价地，)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 思考3： 探究：离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即. 而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即. 因此，. 思考交流： 提示：(1)根据定义求解，，. (2)方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 例1 . 例2 解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 ，. 因为，所以