2024年中考数学 沪科版 二轮复习专题特训课件二次函数的实际应用

专题特训　二次函数的实际应用 类型一　图形面积问题 1. 将长为56cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个最大的正方形.设这两个正方形的面积之和为Scm2，当两段铁丝的长度分别为多少时，S有最小值？ 解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为＝（14－x）cm.根据题意，得S＝x2＋（14－x）2＝2x2－28x＋196.∵ 2＞0，∴ 当x＝－＝7时，S有最小值.∵ 7×4＝28（cm），56－28＝28（cm），∴ 当两段铁丝的长度都为28cm时，S有最小值. 2. 如图，用长30m的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，墙长10m，墙的对面有一道2m宽的门.设垂直于墙的一边长为xm，菜园的面积为Sm2. （第2题） （1） 直接写出S与x之间的函数表达式. 解：（1） 根据题意，得S＝（30－2x＋2）x＝－2x2＋32x. （2） 若菜园的面积为96m2，求x的值. 解：（2） 当S＝96时，－2x2＋32x＝96，解得x1＝12，x2＝4.∵ 墙长10m，门宽2m，∴ 2≤30－2x＋2≤10，解得11≤x≤15.∴ x的值为12. （3） 若在墙的对面再开一道宽为a（0＜a＜3）m的门，且菜园的最大面积为124m2，求a的值. 解：（3） 根据题意，得S＝（30－2x＋a＋2）x＝－2x2＋（32＋a）x.∵ a＋2≤30－2x＋a＋2≤10，∴ a＋11≤x≤15.∵ 抛物线的对称轴为直线x＝－＝＜＜11，∴ 当x＝a＋11时，S＝124，即－2＋（32＋a）＝124，解得a＝2.8. （第2题） 3. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2. （1） 求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. 解：（1） ∵ 三块矩形区域的面积相等，∴ 矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍.∴ AE＝2BE.设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am.∴ 3×2a＋2a＋2x＝80，即8a＋2x＝80.∴ a＝－x＋10.∴ y＝3ax＝x＝－x2＋30x.∵ x＞0，－x＋10＞0，∴ 0＜x＜40.∴ y＝－x2＋30x（0＜x＜40）. （第3题） （2） 当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：（2） ∵ y＝－x2＋30x＝－（x－20）2＋300（0＜x＜40），且－＜0，∴ 当x＝20时，y有最大值，最大值是300. （第3题） 类型二　商品利润问题 4. （2022·荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的函数表达式为y＝－x＋9.销售过程中的其他开支为50万元. （1） 求该商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数表达式.当销售价格定为多少时，净利润最大？最大净利润是多少万元？ 解：（1） z＝y（x－30）－50＝（x－30）－50＝－x2＋12x－320. ∵ －＜0，∴ 当x＝－＝－＝60时，z最大，即当销售价格定为60元/个时，净利润最大，最大净利润为－×602＋12×60－320＝40（万元）. （2） 若净利润预期不低于17.5万元，试求出x的取值范围.若还需考虑销售量尽可能大，则销售价格应定为多少？ 解：（2） 当z＝17.5时，17.5＝－x2＋12x－320，解得x1＝45，x2＝75.∵ 净利润预期不低于17.5万元，且－＜0，∴ 45≤x≤75.∵ 在y＝－x＋9（45≤x≤75）中，y随x的增大而减小，∴ 当x＝45时，销售量最大.∴ 销售价格应定为45元/个. 类型三　“抛物线形”问题 5. （2022·陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形.如图，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求，OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m. （1） 求满足设计要求的抛物线对应的函数表达式. 解：（1） 由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（5，9），∴ 设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－5）2＋9.把（0，0）代入，得a＝－，∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－（x－5）2＋9. （第5题） （2） 现需在这条隧道内壁上安装照明灯，在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯.已知点A，B到OE的距离均为6m，求点A，B的坐标. 解：（2） 令y＝6，得－（x－5）2＋9＝6，解得x1＝5＋，x2＝5－.∴ A，B. （第5题） 6. （2022·芜湖一模）如图①所示为某种发石车，这是古代一