2024年中考数学（沪科版）二轮复习专题特训课件 特殊四边形中的折叠问题

专题特训　特殊四边形中的折叠问题 类型一　平行四边形中的折叠问题 1. 如图,在▱ABCD 中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为 (　　) A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 (第1题) C 类型二　矩形中的折叠问题 2. (2023·马鞍山花山期中)如图,矩形ABCD的边AB,BC的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(其中BC>AB),点E在边BC上,连接AE,把△ABE沿AE折叠,点B落在点B'处.当△ECB'为直角三角形时,B'C的长为　　 　　. 或2 [解析]解方程x2-7x+12=0,得x1=3,x2=4.∵ BC>AB,∴ BC=4,AB=3.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB=CD=3,AD=BC=4,∠DAB=∠ABC=90°.由折叠的性质,知AB=AB'=3,BE=B'E,∠ABC=∠AB'E=90°.若∠CEB'=90°,则∠BEB'=180°-∠CEB'=90°.又∵ ∠AB'E=∠ABC=90°,∴ 四边形ABEB'是矩形.∵ AB=AB'=3,∴ 四边形ABEB'是正方形.∴ BE=B'E=3.∴ EC=BC-BE=1.∴ 在Rt△ECB'中,由勾股定理,得B'C==.若∠EB'C=90°,∵ ∠AB'E=90°,∴ ∠AB'E+∠EB'C=180°.∴ 点A,B',C在同一条直线上.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC==5,∴ B'C=AC-AB'=5-3=2.∵ 点E在边BC上,∴ 易知∠ECB'≠90°.综上所述,B'C的长为或2. 3. 如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与边AD上的点K重合,EG为折痕;点C与边AD上的点K重合,FH为折痕.已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=+1,求BC的长. (第3题) 如图,过点K作KM⊥BC于点M.记∠KEM,∠KFM分别为∠3,∠4. 由题意,得∠3=180°-2∠1=45°,∠4=180°-2∠2=30°,BE=EK,KF=FC. ∵ KM⊥BC, ∴ 易得EM=KM,KF=2KM. 设KM=x,则EM=x,KF=2x. 在Rt△KME中,由勾股定理,得EK==x, 在Rt△KMF中,由勾股定理,得MF==x. ∵ EM+MF=EF=+1, ∴ x+x=+1,解得x=1. ∴ EK=,KF=2. ∴ BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++. 类型三　菱形中的折叠问题 4. 如图,把菱形ABCD沿AH折叠,使点B落在BC上的点E处,连接DE.若∠B= 70°,则∠EDC的度数为 (　　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° B [解析]∵ 四边形ABCD是菱形,∴ ∠ADC=∠B=70°,AB=AD,AD∥BC.由折叠的性质,知AB=AE=AD,∠AEB=∠B=70°,∴ ∠ADE=∠AED.∵ AD∥BC,∴ ∠DAE=∠AEB=70°.∴ ∠ADE=∠AED=×(180°-∠DAE) =55°.∴ ∠EDC=∠ADC-∠ADE=70°-55°=15°. 5. (2023·马鞍山雨山一模)如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,AB=2,E是边AB上一点,将△DAE沿DE折叠得到△DGE,再将△BEF沿EF折叠,使BE落在直线EG上,点B的对应点为H,EF交BC于点F. (1) ∠DEF的度数是　　　　.  90° [解析] 由折叠的性质,可得∠AED=∠DEG,∠BEF=∠HEF, ∴ ∠DEG+∠HEF=∠AED+∠BEF.∵ ∠DEG+∠HEF+ ∠AED+∠BEF=180°,∴ ∠DEG+∠HEF=90°,即∠DEF=90°. (2) 若E是AB的中点,则DF的长为　　　　. [解析]∵ 四边形ABCD为菱形,∴ AD∥BC,∠BCD=∠A=120°,AD=CD= BC=AB=2.∴ ∠A+∠B=180°.由折叠的性质,可得AE=EG,AD=DG=2,BE= EH,BF=HF,∠A=∠EGD,∠B=∠EHF.∵ E是AB的中点,∴ AE=BE.∴ EG =EH,即易得点G与点H重合.∵ ∠EGD+∠EHF=∠A+∠B=180°,∴ 点D, G,F在同一条直线上.如图,过点D作DM⊥BC,交BC的延长线于点M.∵ ∠BCD=120°,∴ ∠DCM=180°-∠BCD=60°.∴ ∠CDM=90°-∠DCM =30°.∵ CD=2,∴ CM=CD=1.在Rt△CDM中,由勾股定理,得DM= =.设BF=HF=x,则MF=2-x+1=3-x,DF=2+x.在 Rt△MDF中,由勾股定理,得DF2=MF2+DM2,即(2+x)2=(3-x)2 +()2,解得x=.∴ DF=2+=. 类型四　正方形中的折叠问