第十八章 平行四边形 专题：中点四边形 讲练课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 专题：中点四边形 新人教版初中八年级数学下学期 中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形. 1. 如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点. 求证：所得的中点四边形EFGH是平行四边形. ∵点E，H是中点， ∴四边形EFGH是平行四边形. ∴EH FG. ∴EH BD.同理FG BD， 证明：如图，连接BD， 2. 如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，点E，F，G，H分别是各边的中点. 四边形EFGH是什么特殊的四边形？请证明. 解：四边形EFGH是菱形. 证明如下： ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵AC＝BD，∴EH＝EF. ∴▭EFGH是菱形. ∵点E，H是中点，∴EH BD. 同理FG BD，∴EH FG. 又∵点E，F是中点，∴EF＝ AC. 3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵点G，F是中点，∴GF∥DB. ∵GF∥DB，HG∥AC，∠COD＝90°， ∴四边形MONG是矩形. ∴∠HGF＝90°. ∴四边形EFGH是矩形. 证明：∵点H，G是中点，∴HG AC. 同理EF AC，∴HG EF， 4. 如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是______形. 正方 总结： 四边形 普通四边形 对角线相等的四边形(如矩形) 对角线垂直的四边形(如菱形) 对角线相等且垂直的四边形(如正方形) 中点四边形的形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 5. 如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH (即四边形ABCD的中点四边形). (1)四边形EFGH的形状是___________，当四边形ABCD的对角线满足_________(填入位置关系或数量关系)时，四边形EFGH是矩形； (1)解：∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H， ∴线段EH，FG分别是△ADC，△ABC的中位线. ∴EH∥FG，EH＝FG.∴四边形EFGH是平行四边形. ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H. ∴线段EF是△ABD的中位线. ∴EF∥BD. ∵EF∥BD，AC⊥BD，EH∥AC，∴EF⊥EH. ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是矩形. 故答案分别为平行四边形，AC⊥BD； ∴EH∥AC，EH＝ AC，FG∥AC，FG＝ AC. (2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是_____； 菱形 ∵AC＝BD， ∴EF＝EH. ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形. 故答案为菱形； (2)解：由(1)得线段EF是△ABD的中位线，EH＝ AC， ∴EF＝ BD. (3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形. (3)证明：由(2)可得当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形， 由(1)可得当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形， ∴∠EFG＝90°. 又∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形. 6. (2023·中山期中)如图，△ABC的中线AD，BE，CF相交于点G，BG，CG的中点分别为H，I，顺次连接EF，FH，HI，IE得到四边形EFHI. (1)求证：四边形EFHI是平行四边形； 证明：(1)∵BE，CF是△ABC的中线， ∴AE＝CE，AF＝BF，EF是△ABC的中位线. ∵H，I分别是BG，CG的中点， ∴HI是△BCG的中位线. ∴EF∥HI且EF＝HI. ∴四边形EFHI是平行四边形； ∴EF∥BC且EF＝ BC. ∴HI∥BC且HI＝ BC. (2)当AD⊥BC时，求证：四边形EFHI是矩形. 证明：(2)同(1)得FH是△ABG的中位线， ∴FH∥AD. ∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥AD. 又∵FH∥AD， ∴EF⊥FH.∴∠EFH＝90°. 由(1)可知，四边形EFHI是平行四边形， ∴平行四边形EFHI是矩形. ∴FH∥AG，FH＝ AG. 7. 如图，正方形ABCD的边长为2，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，再顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2……则第五个正方形A5B5C5D5