第十八章 平行四边形 专题：平行四边形中的最值问题 讲练课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 专题：平行四边形中的最值问题 新人教版初中八年级数学下学期 1. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE＝2，点P在对角线BD上，则PE＋PC的最小值为 ( ) B 利用轴对称求最值 2. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为____. 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从点B沿着BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交AD于点F，则EF的长度最小为 ( ) A. B. C. 5 D. 7 利用“垂线段最短”求最值 B 4. 如图，菱形ABCD的边长为5，面积为20，P为CD边上一动点(异于点C，D)，点M，N分别在BD，BC上运动，则PM＋MN的最小值为____. 4 利用平行线之间的距离求最值 5. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉. 把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为 同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上， MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN 的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_______. 利用三角形三边关系、三点共线求最值 6. 如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在边OM上运动时，点C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为____. 25 7. 如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，求线段AB的最小值. 利用线段转化求最值 解：∵四边形CDEF是正方形， ∴OC＝OD，∠COD＝90°，∠ACO＝∠BDO＝45°. ∴∠AOC＋∠AOD＝90°. ∵∠AOB＝90°，∴∠BOD＋∠AOD＝90°. ∴∠AOC＝∠BOD. ∴△AOC≌△BOD(ASA). ∴OA＝OB. ∴在△AOC和△BOD中， ∴△AOB是等腰直角三角形. ∴当OA最小时，AB最小. ∵OA⊥CD时，OA最小， ∴AB＝ OA. ∴A为CD的中点，∴OA＝ CD＝1. ∴AB＝ OA＝ . ∴线段AB的最小值为 . 8. 如图1所示，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE，BF翻折，使点A、点C都恰好落在点O处. (1)求证：∠EDO＝∠FBO； (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠ADB＝∠CBD. ∵将△ADE，△CBF分别沿DE，BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处， ∴△ADE≌△ODE.∴△CFB≌△OFB. ∴∠EDO＝∠FBO； ∴∠ADE＝∠ODE＝ ∠ADB， ∠CBF＝∠OBF＝ ∠CBD. (2)求证：四边形DEBF是菱形； (2)证明：∵∠EDO＝∠FBO，∴DE∥BF. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD＝BC，∠A＝90°. ∵DE∥BF，AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形. 又∵△ADE≌△ODE， ∴∠A＝∠DOE＝90°. ∴EF⊥BD.∴四边形DEBF是菱形； (3)如图2，若AD＝2，P是线段ED上的动点，求2AP＋PD的最小值. (3)解：如图2，过点P作PH⊥AD于点H， ∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE. ∴∠ADE＝∠ODE＝∠ODF＝30°. ∴在Rt△DPH中，2PH＝PD. ∴2AP＋PD＝2PA＋2PH＝2(AP＋PH). 如图2，过点O作OM⊥AD于点M，与DE的交点即是2AP＋PD的值最小的点P的位置. 而此时(2AP＋PD)的最小值＝2OM， ∵△ADE≌△ODE，AD＝2， ∴AD＝DO＝2. 在Rt△OMD中，∵∠ODA＝2∠ADE＝60°， ∴∠DOM＝30°. ∵DM2＋OM2＝DO2， ∴12＋OM2＝22. ∴DM＝ DO＝1. ∴OM＝ . ∴(2PA＋PD)的最小值为2OM＝2 . 同学们，再见！ $$