专题7.3组合（六个重难点突破）-2023-2024学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题7.3 组合 知识点1组合的定义 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 知识点2组合数 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 3.组合数的性质:（1） ;（2） 知识点3组合数的应用 1.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 2.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 3.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 4.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 重难点1组合数的化简求值 【例1】（    ） A．65 B．160 C．165 D．210 【例2】若，，则（    ） A．5 B．3 C．6 D．2或5 【变式1-1】已知为正整数，且，则 . 【变式1-2】（1）求值：． （2）己知，求x． 【变式1-3】（1）计算：； （2）求值：. 涉及具体数字问题可以直接运算； 组合数公式的主要作用:一是计算较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 重难点2组合数的证明题及不等式 【例3】若正整数n满足不等式，则 . 【例4】证明下列各等式． (1)＝； (2). 【变式2-1】已知，则n的一个取值可能是 . 【变式2-2】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【变式2-3】求关于的不等式的解集． 关注组合数中的隐含条件,且,求解时应检验其结果是否满足这一条件. 重难点3判断是否是组合问题 【例5】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【例6】设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（    ） A．11 B．12 C．10 D．13 【变式3-1】判断下列问题是组合问题还是排列问题，并用组合数或排列数表示出来． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？ (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 【变式3-2】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式3-3】（多选）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 区分排列与组合问题的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是,说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关. 重难点4有限制条件的组合问题 【例7】某学校高三年级举行一次歌咏比赛，六个班各有2名学生参加决赛，现要选出4名优胜者，则选出的4名学生中恰有且只有两个人是同一班级的概率为（    ）. A． B． C． D． 【例8】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有（    ）个． A． B．20 C．10 D．12 【变式4-1】将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．15 【变式4-2】将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有红球，则不同的放球方法共有(    ) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【变式4-3】从名男生和名女生中任选三人排成一排照相，其中男生、女生各至少选一人的方法共有 种． （1）特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据. （2）含有“至多”“至少”等限制词语时，要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解。 （3）分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂