2024年苏科版中考数学专题对点练 圆的相关定理

圆的相关定理 一、原理导学 1）如图1，经过圆内任意一点P作圆的两条相交弦AB,CD，那么PC,PD,PA,PB有着怎样的关系？如何证明你的猜想？ 图1 2）如图2，从圆外一点P引圆的两条割线，那么刚才的结论成立吗？如何证明你的猜想？ 图2 3）将图2中的一条割线PD变成圆的切线，如图3，上面的结论是否会发生变化？如何证明你的猜想？ 图3 4）将图2中的另一条割线PB也变成圆的切线，如图4，你有什么发现？ 引例 如图：A是⊙O上的一个点，过点A的切线交直径CB的延长线于点P, AD⊥BC, D为垂足，求证：= 2、 原理应用 类型(一)：利用圆的“切割线定理”解题 例 1、 如图 1，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为 A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若 QC =1，CD = 3，则 PB =_________。 图1 类型(二)：利用圆的“相交弦定理”解题 例2、 如图2所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦 ，AO ⊥ BC，AB = √3，BC =2√2，则⊙O的半径等于________. 图2 类型三：综合运用圆的“切割线定理”与“相交弦定理”巧解题 例3、 如图 3，圆O的弦 AB, CD相交于点 E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA = 6 , AE = 9,PC = 3 , CE∶ED = 2∶1，则BE =_______. 图3 类型四：综合运用圆的“切割线定理”与“平行线分线段成比例定理”解题 例4、 如图4，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D. 若AB = 4,CE = 2 √3，则AD =__________ . 图2 类型五：综合运用圆的“切割线定理”与“三角形内角平分线定理”解题 例5、 如图 5，AB切⊙O于点B，直线AD交⊙O于D,E两点，BC⊥DE，垂足为C. 若AD =3DC,BC =2，求⊙O的直径. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的相关定理 一、原理导学 1）如图1，经过圆内任意一点P作圆的两条相交弦AB,CD，那么PC,PD,PA,PB有着怎样的关系？如何证明你的猜想？ 图1 2）如图2，从圆外一点P引圆的两条割线，那么刚才的结论成立吗？如何证明你的猜想？ 图2 3）将图2中的一条割线PD变成圆的切线，如图3，上面的结论是否会发生变化？如何证明你的猜想？ 图3 4）将图2中的另一条割线PB也变成圆的切线，如图4，你有什么发现？ 引例 如图：A是⊙O上的一个点，过点A的切线交直径CB的延长线于点P, AD⊥BC, D为垂足，求证：= 2、 原理应用 类型(一)：利用圆的“切割线定理”解题 例 1、 如图 1，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为 A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若 QC =1，CD = 3，则 PB =_________。 图1 解析： 由圆的切割线定理得 QA2 =QC · QD =1×(1+3)=4， 解得QA=2. 又PA,PB均为⊙O的切线，Q为PA的中点， 故所求PB=PA =2QA =2×2=4. 评注： 本题比较简单，求解关键在于结合图形转化目标问题，并灵活运用圆的切割线定理. 类型(二)：利用圆的“相交弦定理”解题 例2、 如图2所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦 ，AO ⊥ BC，AB = ，BC =2，则⊙O的半径等于________. 图2 解析： 记AO 与BC交于点D，则由AO⊥BC可得BD =CD =BC = × 2√ 2 = √2， 所以AD=AB2 - BD2 =( 3 )2 - ( 2 )2=1. 记AO 的延长线与⊙O 交于点E，设⊙O的半径为r， 则由圆的相交弦定理可得AD ⋅ DE =BD ⋅ CD， 所以 1×(2r-1) =√2×√2， 解得r = 故所求⊙O的半径等于 . 评注： 在上述解析中，若连接 BE，则易知 BD 为Rt△ABE斜边上的高，所以根据直角三角形的射影定理得BD2 = AD · DE，由此加以计算也可顺利获解. 类型三：综合运用圆的“切割线定理”与“相交弦定理”解题 例3、 如图 3，圆O的弦 AB, CD相交于点 E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA = 6 , AE = 9,PC = 3 , CE∶ED = 2∶1，则BE =_______. 图3 解析： 由圆的切割线定理得PA2 = PC·PD， 又 PA=6 ,PC=3， 所以代入化简得 PD=12， 从而 CD=PD -PC=12 -3 =9. 又因为CE∶ED = 2∶1，所以可知CE=6,ED=3. 于是，由圆的相交弦定理可得 AE·EB =CE·ED， 即9EB =6×