立体几何解答题：角度问题　专项训练——2024届高三数学二轮专题复习

立体几何---角度问题 1．（2023高三·山东济宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，//，，，平面平面，，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 2．（23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，在三棱柱，侧面正方形，面平面，，分别为的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角成角的余弦值． 3．（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，点是的中点，直线交平面于点． (1)求证：点是的中点； (2)求二面角的大小． 4．（23-24高三上·北京顺义·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值． 条件①：；条件②）：；条件③）：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分． 5．（23-24高三上·北京石景山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 6．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，棱雉的底面是正方形，平面，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 7．（23-24高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 8．（23-24高三上·北京大兴·期末）如图.在三棱柱中，平面，，，、分别为、的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面，所成角的正弦值. 9．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值． 10．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何---角度问题 1．（2023高三·山东济宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，//，，，平面平面，，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1）在四棱锥中， 因为平面平面，平面平面， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）取中点O，连接，， 因为，所以. 因为平面平面，平面平面， 因为平面，所以平面，因为平面， 所以，. 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ，. 设平面的法向量为，则 即令，则，，所以. 因为平面的法向量， 所以 由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 2．（23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，在三棱柱，侧面正方形，面平面，，分别为的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角成角的余弦值． 【解析】（1）证明：取中点，连接，， 在三棱柱中， ，，，， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，面，面， 平面． （2）取中点为，连接， ，为中点 ，则 面平面，面平面，平面 面， 面，， 面正方形，为中点， ， 如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 面，是平面的法向量， 设面的法向量为， ，， 则，取，得， ， 由图得，二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为． 3．（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，点是的中点，直线交平面于点． (1)求证：点是的中点； (2)求二面角的大小． 【解析】（1）由题意，面，平面， 所以面， 又直线交平面于点，即面面， 所以， 又因为， 所以， 又因为点是的中点， 所以点是的中点. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，所以两两垂直， 所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为底面是直角梯形，，，点是的中点，点是的中点. 所以， 所以， 不妨设面和面的法向量分别为， 所以有和， 不妨令，则解得， 即取面和面的一个法向量分别为， 不妨设面和面的夹角为， 则， 所以， 而显然二面角是钝角，所以其大小为. 4．（23-24高三上·北京顺义·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值． 条件①：；条件②）：；条件③）：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分． 【解析】（1）取中点,连接 由于分别为的中点，所以, 又,所以, 因此四边形为平行四边形， 故平面,平面, 故平面 （