微专题3.1导数极值点偏移解题教学设计-2024届高三数学二轮复习

函数的极值点偏移教学设计 一 教学设计 （1） 知识点 函数的单调性、函数的极值与最值、函数的构造、不等式相关知识。 试题再现：对于函数(xR)，如果，且，求证：. （二） 学习背景 1 教材分析 “函数的极值点”的主要内容是通过导数研究函数极值点的性质，进而判定单极值函数极值点左右的增减速度。常见的处理办法是：根据题目已知条件对欲证式子进行化简或变形，通过构造函数是通解。 2 学情分析 此题一般在高三一轮复习中讲解，此类学生知识体系已经构建，但知识点的迁移和整合能力较弱。在对运用导数研究函数性质上有了一定的基础，对函数极值点为何偏移、如何偏移不甚了解，希望通过本题多解与多变让学生能体验到一定的道理。 3 核心问题 （1） 函数的极值点为何偏移？ （2） 函数极值点偏移构造方式有哪些？ （三） 课时目标 1 知识技能：会求函数的极值点；理解函数极值点的含义；能利用函数构造法解决极值点偏移问题；会相关不等式的证明； 2 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模 3 长见识、悟道理：让学生在学习中体验一题多解，一题多变的过程，在过程中感受数学核心素养，通过一道题能体会一类题的解法，进而可以实现多题一解。让学生领悟到学习思维的提高、数学视野的拓展是在解题中形成，是在多变中感悟，也就领悟到数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值 （四）重点难点 1 重点：函数极值与导数的关系； 2 难点：如何构造恰当的新函数解决问题。 （五）设计思路 根据问题，引导学生从题干的蕴涵条件中逐个细化，找出与目标相关的知识点，通过提问引导学生根据已有的经验得出一些相关的结论，最后寻找条件和结论之间的关系，选择恰当的解题方法。同时，对多种解法的优劣进行分析。让学生在分析中体会数学核心素养。 二 教学过程 （一）一题多解 解法1：（主元直接构造） 解：对函数求导得，可知在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，故函数在x=1处取得极大值， 已知，且，不妨设，则必有， 要证明，只要证明 由于，，且在(1,+)上单调递减，故只要证 由于，即证，可证， 则可构造函数，则 那么 当(0,1)时，>0 可知，在(0,1)上为单调递增，故 即有对(0,1)恒成立，即成立，故原不等式成立。 解法2：（主元对称构造） 解：由解法1可知当(0,1)时，，将上式变形得，即可构造函数， 则，那么 当(0,1)时，>0 可知，在(0,1)上为单调递增，故 即有对(0,1)恒成立，即成立，故原不等式成立。 解法3：（换元比值构造） 解：由，可知，化简得， 两边取对数得，由解法1，不妨设.现令则，，可得，，要证明，只需要证明即证明，即证明现令，则， 则当时，恒成立，故在上单调递增，则，可知在上单调递增，,即不等式成立，则成立。 解法4：（换元差值构造） 解：由，可知，化简得 由解法1，不妨设.现令则，，可得，要证明，只需要证明 ，即证明，即证明 现令，则, 则当时，恒成立，故在上单调递增，则，可知在上单调递增，,即不等式成立，则成立。 解法5：（换元常数构造） 解：由，可知，化简得 两边取对数得，， 则 由解法1，不妨设.现令 要证明，只需要证明 即是，即证明，即证明 现令，则， 则当时，恒成立，故在上单调递增，则，可知在上单调递增，,即不等式成立，则成立。 解法6：（对数平均不等式） 思路分析：利用对数平均不等式证明。 对数平均定义：对于正数a，b，有，则 ， 简写为 当且仅当a=b时，取等号（其证明方式可以用对成化构造） 解：由，可知，化简得 两边取对数得，则 所以，当时，根据对数平均不等式可知 所以， （二）一题多变 【变式一】已知函数的图像与直线交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：。 解：对函数求导得， 由，得，由，得， 所以，函数在(0,)上单调递减，在(,+)上单调递增。 不妨设，则有，又由已知得，，所以，可变形为：， 现令，则，代入上式可得 可得，，要证明，只需要证明 即是，即证明，即证明 现令，则， 则当时，恒成立，故在上单调递增，则，可知在上单调递增，,即不等式成立，则成立。 【变式二】已知函数有两个零点x1，x2，且，求证：。 解：令，可得，令，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减。则当时， 又，不妨设，则有， 由有两个不相等的实数根，则有 即，现令，则，可得， 要证明，只需要证明即证明，即证明 现令，则， 则当时，恒成立，故在上单调递增，则，可知在上单调递增，,即不等式成立，则成立。 【变式三】已知函数，若x1，x2是函数的两个极值点，且，求证：。 解：由已知得，求导得 由有两个不同的实数根，得