2024年九年级中考数学专题训练-动点最值之胡不归模型

中考专题-动点最值之胡不归模型 【背景故事】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？ 建立模型 【解决思路】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【例题】 1．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于（　　） A． B．3 C．3 D．2+2 2．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（　　） A．5 B．10 C．5 D．10 3．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（　　） A． B． C．10 D． 4．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD+PC的最小值是（　　） A．4 B．2+2 C．2 D． 6．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【练习】 7．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于　 　． 8．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于　 　． 9.例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　　s． 胡不归问题 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于（　　） A． B．3 C．3 D．2+2 【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EPPD，即PBPD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AB∥CD， ∴∠EDP＝∠DAB＝60°， ∴sin∠EDP， ∴EPPD ∴PBPD＝PB+PE ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵sin∠A， ∴BE＝3， 故选：C． 2．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（　　） A．5 B．10 C．5 D．10 【分析】BP+AP（BPAP），求BPAP的最小值属“胡不归”问题，以A为顶点，AC为一边在下方作45°角即可得答案． 【解答】解：以A为顶点，AC为一边在下方作∠CAM＝45°，过P作PF⊥AM于F，过B作BD⊥AM于D，交AC于E，如图： BP+AP（BPAP），要使BP+AP最小，只需BPAP最小， ∵∠CAM＝45°，PF⊥AM， ∴△AFP是等腰直角三角形， ∴FPAP， ∴BPAP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BPAP最小值是线段BD的长度， ∵∠CAM＝45°，BD⊥AM， ∴∠AED＝∠BEC＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴sin∠BEC＝sin45°，tan∠BEC， 又BC＝4， ∴BE＝4，CE＝4， ∵AC＝6， ∴AE＝2， 而sin∠CAM＝sin45°， ∴DE， ∴BD＝BE+DE＝5， ∴BP+AP的最小值是BD＝10， 故选：B． 3．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（　　） A． B． C．10 D． 【分析】过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE．继而证明当C、P、E三点共线且CEAB，BP+PC＝PE+PC的值最小为CE．由由等腰三角形腰上的高相等，解出BD的长