7.3 复数的三角表示 课后提能训练-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　7.3　 A级——基础过关练 1．复数－i的三角形式是(　　) A．cos ＋isin B．cos ＋isin C．cos －isin D．cos ＋isin 2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　　) A．150° B．40° C．－40° D．320° 3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为(　　) A．4 B．－4 C．2π－4 D．－4 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　) A． B．或 C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　) A． B．[cos (2π－θ)＋isin(2π－θ)] C． D． 6．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－ D．－ 7．(多选)下列计算正确的有(　　) A．2×＝2i B．(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2i C．8÷＝＋i D．2i÷＝2＋2i 8÷＝2＝2＝－＋i，C错误；2i÷＝2(cos 90°＋isin 90°)÷＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i，D正确． 8．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是__________． 9．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是__________． 10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式． B级——能力提升练 11．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为(　　) A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π 12．(多选)已知复数z1＝1＋cos θ＋isin θ(π＜θ＜2π)，z2＝1＋cos θ－isin θ(π＜θ＜2π)，则(　　) A．z1的模是2cos B．z1的辐角的主值是π＋ C．z2的模是－2cos D．z2的辐角的主值是π－ 13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为__________． 14．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，则z1＝__________，z2＝__________． 15．设O为复平面的原点，A，B为单位圆上两点，A，B所对应的复数分别为z1，z2，z1，z2的辐角的主值分别为α，β．若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan (α＋β)． 答案 1【答案】A 【解析】－i＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin＝cos＋isin． 2【答案】D 【解析】sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°，故辐角的主值为320°． 3【答案】D 【解析】sin 4＋icos 4＝cos＋isin． 4【答案】D 【解析】因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1．所以θ＝＋kπ(k∈Z)． 5【答案】A 【解析】因为1＋i＝，cos θ－isin θ＝cos (2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝＝． 6【答案】B 【解析】因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，所以所以a＝－1．故选B． 7【答案】BD 【解析】2×＝2＝－2i，A错误；(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i，B正确； 8【答案】1－i 【解析】(1＋i)＝＝＝＝1－i． 9【答案】 【解析】由题知，z1＝2，z2＝2，所以的辐角的主值为－＝． 10解：因为z1＝2， 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z1z＝8． 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)， 所以α＝kπ＋(k∈Z)． 又因为α∈(0，π)，所以α＝． 所以z2＝2＝－1＋i． 11【答案】B 【解析】＝＝cos 3θ＋isin 3θ．因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜．所以π＜3θ－2π＜．故选B． 12【答案】BCD 【解析】z1＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋＋2i·sin·cos ＝2cos ．∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0，∴2cos ·＝－2cos ＝－2cos ， ∴r＝－2cos ．∵＜＜π，∴＜π＋＜2π，∴arg z＝π＋．故复数z1的模是－2cos ，辐角主值是π＋．z2＝2cos2－2i·sincos