第十八章平行四边形专题探究-2023-2024学年八年级数学下册人教版正方形5种经典模型讲解（模型讲解+典例剖析+针对训练）（解析版+原卷版）

专题01 正方形5种经典模型（讲解+典例剖析+针对训练）（原卷版） 模型一 对角互补模型（课本P63实验与探究） 模型讲解：若OE⊥OF，则△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF，△OEF是等腰直角三角形，左图中四边形OEBF的面积是正方形面积的。常见辅助线如下： 【典例1】（2021春•卧龙区期末）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为 　 　． 【针对训练】 1．（2023春•老城区期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CF2＝2OE2，其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 模型二 十字架模型（课本P68复习题第8题） 模型讲解：十字架模型：（1）过顶点型：△BCE≌△CDF，BE=CF，CF⊥BE，CE=DF，知三推一！ （2）不过顶点型：若EG⊥FH，则EG=FH。注意：逆命题不成立！即若EG=FH，则EG⊥FH不成立 【典例2】（1）如图1，正方形ABCD中，AE⊥FG，求证：AE＝FG； （2）如图2，将边长为12的正方形ABCD折叠，使A点落在CD上的E点，然后压平折痕FG，若FG的长为13，求CE的长． 【针对训练】 1．（2020春•宁津县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为（　　） A． B． C．2 D．3 2．（2023春•潮阳区期中）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD； ③∠CHG＝∠DAG；④HGAD．其中正确的有 　 ． 3．（2023•岱岳区三模）如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，连接BE，CF交于点G，连接AG． （1）求证：BE⊥CF． （2）线段AB与线段AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由． 类型三 半角模型（课本P62习题第15题） 模型讲解：若∠EAF＝45°，则EF＝BF＋DE，△CEF的周长=2AB； GH2＝DG2+BH2。 【典例3】（2023•安乡县二模）如图所示，在正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合），连接DE交AC于点N，点F在边BC上，使得∠EDF＝45°，DF交AC于点M，连接EF． （1）求证：MN2＝AN2+CM2； （2）求证：DF平分∠EFC； 【针对训练】 1．（2021春•亳州期末）如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且∠EAF＝45°． （1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数； （2）设∠AEB＝α，则∠AFD＝　 　（用含α的代数式表示）； （3）求证：∠AEB＝∠AEF． 2．（2023秋•福田区期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且∠EAF＝45°，AE与AF分别交对角线BD于点M、N，则下列结论正确的是　 　． ①∠BAE+∠DAF＝45°；②∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；③BM+DN＝MN；④BE+DF＝EF． 3．（2021•郓城县模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，则正方形的边长为　 　． 4．（2023秋•江岸区期中）如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，DE＝BF．点G，H分别在边AB、CD上，且GH，GH交EF于M．若∠EMH＝45°，则EF的长为　 　 类型四 一线三垂直模型 同侧型（俗称K字型） 异侧型（俗称（背靠背型）） 模型讲解：结论：△FBC≌△ECD；同侧BF+DE=EF；异侧DE－BF=EF 【典例4】如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R． （1）求证：△ADM≌△DCN： （2）求证：MN＝AM+CN； （3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想． 【针对训练】 1．（2023春•武都区期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．求证： （1）AK＝AH； （2）四边形AKFH是正方形． 2．（2022秋