5.3.2函数的极值与最大(小)值第二课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（2） —函数的最大(小)值 x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 函数最大值和最小值是如何定义的？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 知识回顾 新课导入 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 问题1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗? x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 问题2 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ 极小值： f(x1), f(x3), f(x5) 极大值： f(x2), f(x4), f(x6) 最大值：f(a) 最小值：f(x3) 怎么找到的呢？ 问题3 观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ x y O a b x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则必有最大值和最小值.并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 追问2：什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？ O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 追问1：为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 思考:函数极值与最值的关系？ 局部 整体 x 0 a b y y=f(x) · · 1.在定义域内, 最值唯一, 极值不唯一。 2.最大值一定比最小值大, 极大值不一定比极小值大. 3.最值可能是极值，也可能不是极值。 x1 x2 x3 追问2：函数最值与极值有什么关系？ 求最值的方法：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值 最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 例6 2. 如果函数 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值的步骤为： ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意区分函数的极值与最值：函数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在指定区间上的整体性质. 解： x 0 (0, ) (, 2) 2 f′(x) f(x) 解： x －4 （－4，－3） －3 （－3，3） 3 （3，4） 4 f′(x) f(x) 解： x － (－, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) 解： （不等式恒成立问题） 除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方. 所以,当x=1时, s(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) s '(x) 0 s (x) –