导数极值或最值讨论专项训练-2024届高三数学二轮复习

导数---极值或最值讨论 1．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，（且）. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数存在两个极值点，设是极小值点，是极大值点，若，求实数a的取值范围. 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围： (3)写出的零点个数．（直接写出结论期可） 3．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 4．（23-24高三上·北京·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线的方程； (2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围； (3)若函数存在最小值，直接写出a的取值范围． 5．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数，，. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当时，求证：对任意，恒有成立. 6．（23-24高三上·北京大兴·期中）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若在区间上的最小值为，求的取值范围； (3)直接写出一个值使在区间上单调递减． 7．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值和最大值； (2)若，求证：在处取得极小值． 8．（23-24高三上·北京昌平·期中）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若对于恒成立，求的最大值. 9．（2023·江苏南京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若，求的取值范围． 10．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求函数在上的最大值； (2)若对于任意的，总有，请求出m的最大值和n的最小值． 11．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 12．（23-24高三上·北京·阶段练习）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 13．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数， (1)当时，求在的最小值； (2)求的单调减区间． (3)若有最小值，请直接写出的取值范围． 14．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，且曲线在处与x轴相切， (1)求a的值； (2)令，求在上的单调性； (3)求的极值点个数. 15．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知，. (1)请直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程； (2)设函数，求函数在上的最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数---极值或最值讨论 1．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，（且）. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数存在两个极值点，设是极小值点，是极大值点，若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）， 设，由题设有两个变号零点， 且在的左侧附近，，在的右侧附近，， 在的左侧附近，，在的右侧附近，， 又，令， 令，则，设， 若，则为上的增函数， 当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 因为有两个变号零点，故 且，， 此时的左侧附近，，在的右侧附近，， 这与题设矛盾， 故，为上的减函数， 此时当时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，化简得到：， 故即，故，所以， 所以. 下证：当，有两个变号零点. 此时，而， 故在上存在一个零点，且在的左侧附近，， 在的右侧附近，，故为的极大值点， 设，则， 故在上为增函数，故， 故恒成立，故恒成立， 故当时，有, 故当时，有， 故此时在上存在一个零点，且在的左侧附近，， 在的右侧附近，，故为的极大值点， 所以即为，即为， 综上，. 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围： (3)写出的零点个数．（直接写出结论期可） 【解析】（1）当时，，则， 故，， 在点处的切线方程为，即 （2）， 当时，在单调递增，此时无极值点， 当时，令或， 要使得在上存在极值，则需要，解得， （3）令， 令，则， 记，则， 当时，单调递减，时，单调递增， 且，时，， 而当时，， 作出的大致图象如下： 故当时，无零点， 当或时，一个零点， 当时，两个零点， 3．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称