导数---恒成立或存在性问题专项训练-2024届高三数学二轮复习

导数---恒成立或存在性问题 1．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 2．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最小值； (3)写出实数的一个值，使得恒成立，并证明． 3．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求的极大值点和极小值点的个数； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 4．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对，恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高三上·北京·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； (3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围. 6．（23-24高三上·北京·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点个数； (3)若对于任意，恒成立，求的取值范围． 7．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．（22-23高三上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)当时，求证：； (3)若对任意的恒成立，求实数k的取值范围. 9．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 10．（23-24高三上·北京丰台·期中）已知函数，． (1)当时，求函数的最大值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数---恒成立或存在性问题 1．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）当时， ， ， ， 所以切线方程为：； （2）由题，可得 由于，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为. （3）解法一： ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立 ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 解法二： 当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 当时，，所以. 当时， ，所以恒成立. 设，则 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 2．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最小值； (3)写出实数的一个值，使得恒成立，并证明． 【解析】（1）因为， 所以， 所以，所以切线方程为，即． （2）当时，． 当时，，所以恒成立，单调递减． 所以． （3）． 证明：当时，， 根据（2），当时，单调递减． 当时，设，则， ，所以单调递增， ，所以单调递增． 综上所述，在上单调递减，在上单调递增，所以． 3．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求的极大值点和极小值点的个数； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 可得， 即切点坐标为，斜率为， 所以切线方程为. （2）当时，，， 令，则 可知在上单调递减，且， 所以存在唯一使得，且， 当，则，即，可知在单调递增； 当，则，即，可知在单调递减； 所以有1个极大值点，无极小值点. （3）由题意可得：， 令，则， ①当时，恒成立， 则在上单调递减，可得，符合题意； ②当时，令，得， 0 单调递增 极大值 单调递减 当时，， 故在上单调递增，此时，不合题意； ③当时，，不合题意； 综上所述：的取值范围是 4．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得， 所以切线斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得； （2）对，恒成立，即在恒成立， 即在恒成立，设，则，令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数在时，取得极大值也是最大值， 所以，因为恒成立，所以， 所以的取值范围是. 5．（23-24高三上·北京·期中）