拓展：第3课时 导数中的函数构造问题学历案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

班级：______________ 姓名：_____________组号：______________ 古蔺县金兰高级中学高二数学学历案 课题 拓展：第3课时 导数中的函数构造问题 学习 目标 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式； 2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题. 题型一：利用f(x)与x构造 例1　已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(　　) A．(0,1) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(1，＋∞) 思考：把本例中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)<xf′(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)． 训练1　已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R)．若存在x∈，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(，＋∞) D．(3，＋∞) 2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有(　　) A．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a) 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有: (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝____________．(2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝____________． (3)对于f′(x)>a，构造h(x)＝_______________. (4)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝_____________． (5)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝__________. 题型二：利用f(x)与ex构造 例2　已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　) A．e－2 023f(－2 023)<f(0)，e2 023f(2 023)>f(0) B．e－2 023f(－2 023)<f(0)，e2 023f(2 023)<f(0) C．e－2 023f(－2 023)>f(0)，e2 023f(2 023)>f(0) D．e－2 023f(－2 023)>f(0)，e2 023f(2 023)<f(0) 思考：把本例中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2 023f(－2 023)和f(0)的大小． 训练2　(多选)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　　) A．f(ln 2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0) C．f(ln 2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0) 2．若函数y＝f(x)的定义域为R，对于∀x∈R，f′(x)<f(x)，且f(x＋1)为偶函数，f(2)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2) f(x)与ex构造常见的形式： (1)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝____________．(2)对于f′(x)>f(x)，构造h(x)＝_______________. 题型三：利用f(x)与sin x，cos x构造 例3　(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，则下列判断中正确的是(　　) A．f <f  B．f >0 C．f >f  D．f >f  训练3　已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sin x>f(x)cos x(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　) A． f >－f