利用导数研究函数的综合问题课件-2023-2024学年高二下学期人教A版（2019）选择性必修第二册

拓展：第2课时 利用导数研究函数的综合问题 第五章 一元函数的导数及其应用 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 1.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解：由题意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<－2；令f′(x)<0，得－2<x<2， 所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2,2)， 所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32， 当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0， 所以函数的零点个数为2. 2 2.方程(x＋1)ex＝a(a>0)解的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 解：设f(x)＝(x＋1)ex，所以f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex， 当x>－2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x<－2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0.函数f(x)的大致图象如图所示， 因为a>0，所以方程(x＋1)ex＝a(a>0)的解的个数为1. √ 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 4.给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数. （1）函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＝0，解得x＝0. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 1 单调递增 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增.当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞). 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 （2）由(1)可知，函数的最小值为1. 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示. 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 （3）截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象如图所示. 由图象知，当f(0)<m≤f(－1)，即当m∈ 时，f(x)与y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈ 时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上恰有两个不同的实根； 同理，当m＝1或 ＋1<m≤e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上有唯一的实根； 当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上无实根. 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 判断零点的个数问题的思路: (1)求出函数的定义域. (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点. (3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. (4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势. (5)画出f(x)的大致图象. 题型一：利用导数研究函数的零点或方程的解 10 题型二：利用导数研究恒成立问题 1.若不等式ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围是 √ 11 2.关于x的不等式ax<ex在x∈(0,1)上恒成立，则a的取值范围是__________. (－∞，e] 题型二：利用导数研究恒成立问题 所以f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上单调递减， 所以当x∈(0,1)时，f(x)>e， 所以a≤e. 3.已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a>0).若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围. 题型二：利用导数研究恒成立问题 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表， x f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 题型三：导数在解决实际问题中的应用 1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为 √ 14 2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：