6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例：正余弦定理在测量学中的应用课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 ——正余弦定理在测量学中的应用 人教2019A版必修 第二册 【教学目标】 1.能用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.通过对实际问题的分析,学会构建数学模型将问题数学化,提高分析和解决实际问题的能力. 8848.86米! 2020年12月8日 国家主席习近平 同尼泊尔总统班达里互致信函 共同宣布珠穆朗玛峰最新高程! 珠穆朗玛峰——地球之巅 你,巍然屹立于群山之上 聆听狂风呼啸,头顶日月星辰 神秘而伟岸! 你,是世界的高度 从1975年到2020年,珠峰海拔高度几经变化。测量珠峰,已经成为我们中国人不畏艰难、勇于攀登的象征,是中国力量、中国精神的生动诠释,进行珠峰高程测量对我们具有极其重要的意义。 不能到达…… 1752年 38.5万千米 实际距离 38.4万千米 1. 卷尺:测量距离 2. 经纬仪: 测量角度 仰角: 当目标点在我们的上方, 从下往上看, 视线与水平线的夹角称为仰角 俯角: 当目标点在我们的下方, 从上往下看, 视线与水平线的夹角称为俯角 三角测量: 在三角学与几何学上是一借由测量目标点与固定基准线的已知端点的角度,测量目标距离的方法. 一般来说,基线越长,测量的精确度越高. C D 基点 目标点 基点 基准线 例1 如图,为测量河对岸A,B两点间的距离,沿河岸选取相距40 m的C,D两点,测得∠ACB=60 ,∠BCD=45 ,∠ADB=60 ,∠ADC=30 ,求A,B两点之间的距离. 在 BCD中,∠BDC=60 +30 =90 ,∠BCD=45 ,∴∠CBD=90 -45 =∠BCD, 在 ACD中,∠ADC=30 ,∠ACD=60 +45 =105 , ∴∠CAD=180 -(30 +105 )=45 . 解析 10 11 反思感悟 求两个不可到达的点之间的距离,一般是将其转化为求三角形的边长问题,基本步骤是: (1) 理解题意,选择测量点,收集数据(长度、角度). (2) 画图,将测量值和所求转换为三角形中的边和角. (3) 选择合适的三角形,利用正、余弦定理求解. 例2 如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度. (假设选择的测量点紧贴地面,并忽略经纬仪的高度) 例2 如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度. (假设选择的测量点紧贴地面,并忽略经纬仪的高度) 例2 如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度. (假设选择的测量点紧贴地面,并忽略经纬仪的高度) 例3 反思感悟 测量高度问题的解题策略: (1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路. 1.知识清单:不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:方位角是易错点. 课堂小结 练习1 教材P51 练习1 练习2 练习3.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15 ,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45 ,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡度为 ,则cos 等于 √ 解析 ∴BD=CD=40,BC==40. 由正弦定理,得AC==20. 在 ABC中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC BC cos∠ACB =(20)2+(40)2-2 20 40cos 60 =2 400, ∴AB=20, 故A,B两点之间的距离为20 m. A. B. C.-1 D.-1 在 ABC中,由正弦定理得=, ∴AC=100. 在 ADC中,=, ∴cos =sin( +90 )==-1. $$