6.4.3正弦定理、余弦定理第二课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第二课时　正弦定理 6.4.3　余弦定理、正弦定理 学习目标： 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数. 在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 知识引入 如图，△ABC为钝角三角形，不妨设A为钝角， 提示　观察右图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 1.正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. 知识梳理 正弦 温馨提示 (1)在正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学中的对称美. (2)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化. 例1.（1) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式中一定成立的是 A.a>bsin A B.a＝bsin A C.a<bsin A D.a≥bsin A √ √ 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. (2)用三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 因为A＋B＝π－C， 所以sin C＝sin(π－C)＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B. 又sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B， 所以2sin Acos B＝6sin Bcos B， 即2cos B(sin A－3sin B)＝0， 解得cos B＝0或sin A＝3sin B. √ √ 知识梳理： 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画孤，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 例2 (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 又b<a，∴角B只有一解. 变式训练 (多选)在△ABC中，B＝45°，AB＝10，可使得角C有两个不同取值的AC的长度是 A.7 B.8 C.9 D.10 √ √ 在△ABC中，由正弦定理得 √ A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 √ A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 又B为三角形内角， 所以B＝30°或B＝150°， 又因为a>b，所以A>B，即B＝30°. √ 又A∈(0，π)，a>b， 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即|j|||cos ＋|j|||cos ＝|j|||cos， 思考1 在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示　如图，△ABC为锐角三角形，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C. 由向量加法的三角形法则可得＋＝， 所以j·(＋)＝j·， 也即asin C＝csin A，所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝.因此＝＝. 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， 仿照上述方法，同样可得＝＝. 思考2 在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 所以在△AB′C中，＝＝c， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝_______＝_________＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 由正弦定理＝，得a＝. 在△ABC中，∵0<sin B≤1，∴≥1，∴a≥bsin A. （2）.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝ A.4 B.2 C. D. 由正弦定理＝，得＝， 所以AC＝×＝2. 教师小结：