2024年中考数学（沪科版）二轮复习高频考点突破课件 勾股定理

　勾股定理 考点一 利用勾股定理求线段的长 典例1　(2023·随州)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点.若BD是∠ABC的平分线,则AD=　　　　.  思路导引　过点D作DE⊥AB于点E.由角平分线的性质,可得CD=ED,再通过证明Rt△BCD≌Rt△BED,得到BC=BE=6.根据勾股定理可求出AB=10,进而求出AE=4,设CD=ED=x,则AD=8-x.在Rt△ADE中,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案. 规范解答　如图②,过点D作DE⊥AB于点E.∵ ∠C=90°,∴ CD⊥BC.∵ BD是∠ABC的平分线,CD⊥BC,DE⊥AB,∴ CD=ED.在Rt△BCD和 Rt△BED中,∴ Rt△BCD≌Rt△BED.∴ BC=BE=6.在Rt△ABC中, 由勾股定理,得AB===10,∴ AE=AB-BE=10-6=4.设CD =ED=x,则AD=AC-CD=8-x.在Rt△ADE中,由勾股定理,得AE2+ED2=AD2,∴ 42+x2=(8-x)2,解得x=3.∴ AD=8-x=5.故填5. 方法归纳 利用勾股定理求线段长的方法 　　求直角三角形中线段的长,一般分为已知直角三角形的两边长求第三边长和已知直角三角形三边之间的数量关系列方程求边长.通常可以作三角形一边上的高,将其转化为两个直角三角形,然后利用勾股定理并结合已知条件,采用推理或列方程的方法解决问题. 1. (2023·安庆大观期末)如图,△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE=90°,AC=4,CD=2.若M,N分别是AB,DE的中点,则MN的长为　　 . [解析]如图,连接CM,CN.∵ △ABC与△DCE均为等腰直角三角形,M,N分别是AB,DE的中点,∴ 易得∠BCM=∠ACM=∠ECN=∠DCN=45°,CM⊥ AB,CN⊥ED.∴ △AMC与△CND均为等腰直角三角形.∴ AM=CM,CN= ND.由勾股定理,得AC2=CM2+AM2=2CM2,CD2=CN2+ND2=2CN2.∵ AC=4, CD=2,∴ CM2=8,CN2=2.∵ ∠MCN=∠BCM+∠ECN=90°,∴ 在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN===. 考点二 勾股定理与折叠问题 典例2　(1) 如图①,将长方形纸片ABCD折叠,使BC落在对角线BD上,折痕为BE,点C落在点C'处.若∠ADB=46°,则∠DBE的度数为　　　　.  (2) 小明手中有一张长方形纸片ABCD,AB=4,AD=9. 【画一画】 如图②,点E在这张长方形纸片的边AD上,连接CE,将纸片折叠,使AB落在CE所在的直线上,折痕设为MN(点M,N分别在边AD,BC上),利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法,保留作图痕迹). 【算一算】 如图③,点F在这张长方形纸片的边BC上,连接DF,将纸片折叠,使FB落在射线FD上,折痕为GF,点A,B分别落在点A',B'处.若AG=,求B'D的长. 思路导引　(1) 由长方形的特征,可知AD∥BC,所以∠DBC=∠ADB=46°.又由折叠的性质,可知∠DBE=∠DBC=23°.(2) 【画一画】根据折叠的性质,可知MN在BA与CE延长线相交所成夹角的平分线上,分别延长BA,CE, 相交于点O,作∠BOC的平分线,分别交AD,BC于点M,N,MN即为折痕.【算一算】由长方形以及折叠的性质,可求出FD的长,然后在Rt△DCF中,利用勾股定理可求出FC的长,最后根据BF=B'F即可求出B'D的长. 规范解答　(1) ∵ 四边形ABCD是长方形,∴ AD∥BC.∴ ∠DBC=∠ADB= 46°.由折叠,得∠DBE=∠DBC=23°.故填23°. (2) 【画一画】如图④,MN即为所求. 【算一算】由折叠的性质,可知∠BFG=∠DFG,B'F=BF. 由长方形的特征,可知AD∥BC,CD=AB=4,BC=AD=9,∠C=90°. ∴ ∠DGF=∠BFG. ∴ ∠DGF=∠DFG. ∴ GD=FD=AD-AG=9-=. ∴ 在Rt△FCD中,由勾股定理,得FC===. ∴ B'F=BF=BC-FC=9-=. ∴ B'D=FD-B'F=-=3. 方法归纳 折叠问题的计算技巧 　　想要解决折叠问题,就要紧扣折叠前后的对应边相等,对应角相等,其解题步骤为(1)利用重合的图形传递数据;(2)选择直角三角形,利用勾股定理列方程求解. 2. 如图,在△ABC中,AC=5,BC=8,∠C=60°,点D在边BC上,BD=3,连接AD.如果将△ABD沿AD翻折后,点B的对应点为E,那么点E到直线DC的距离为 (　　) 　 A. B. 4 C. D. A [解析]如图,过点E作EN⊥BC于点N.∵ BC=8,BD=3,∴