2024年中考数学（沪科版）二轮复习高频考点突破 课件二次根式

二次根式 考点一 二次根式的概念和性质 典例1 (2023 广元)若式子有意义,则实数x的取值范围是 . 思路导引 根据二次根式的被开方数是非负数且分式的分母不为0列出不等式,解不等式即可得到答案. 规范解答 由题意,得x-3>0,解得x>3.故填x>3. 方法归纳 判断二次根式有无意义的条件 (1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么这个式子有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数. (2) 如果所给式子中含有分母,那么除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为0. (3)如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂,那么它有意义的条件是底数不为0. 1. (2023 永州)已知x为正整数,使在实数范围内没有意义的x的值为 . 1或2 典例2 (2023 桐城期末)下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 思路导引 先根据二次根式的性质进行化简,再根据最简二次根式的定义判断即可. 规范解答 =,不是最简二次根式,故选项A不符合题意;是最简二次根式,故选项B符合题意;==,不是最简二次根式,故选项C不符合题意;=5,不是最简二次根式,故选项D不符合题意.故选B. 方法归纳 最简二次根式的定义 最简二次根式的定义:(1)被开方数中的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. (2023 安庆期末)下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. A 考点二 二次根式非负性的应用 典例3 已知a,b,c满足2|a-1|++(c+b)2=0,求2a+b-c的值. 思路导引 利用非负数之和为0,则每个非负数分别为0,进而求出a,b,c的值. 规范解答 ∵ 2|a-1|++(c+b)2=0,且|a-1|≥0,≥0,(c+b)2≥0, ∴ 解得 ∴ 2a+b-c=2+2+2=6. 方法归纳 二次根式非负性的应用 二次根式(a≥0)、绝对值|a|、完全平方式(a b)2都是非负数,当几个非负数的和为0时,它们均为0. 3. 若实数a,b满足|a+1|+=0,则a+b= . 1 考点三 二次根式的大小比较 典例4 我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”,即分母和分子都乘以分子的有理化因式,从 而消掉分子中的根式.例如:-==. 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:比较-和-的大小.可以先将它们分子有理化,即-=,-=.∵ +>+,∴ -<-. 请比较-和-的大小. 思路导引 先将两式变形为,,再由>,知+> +,从而比较出大小. 规范解答 ∵ -=, -=,且>, ∴ +>+. ∴ -<-. 方法归纳 比较二次根式大小的方法 比较二次根式的大小的方法有作差比较法、作商比较法、平方比较法、倒数比较法等. 4. (2023 蚌埠龙子湖期中)比较大小: (填“>”“<”或“=”). > [解析]∵ 4<5<9,∴ 2<<3.∴ 1<-1<2.∴ >. 考点四 二次根式的混合运算 典例5 计算: (1) (2023 兰州) -. (2) (2023 金昌) 2-6. 思路导引 直接利用二次根式的运算法则以及二次根式的性质化简,进而计算得出答案. 规范解答 (1) 原式=3-2=. (2) 原式=3 2-6=12-6=6. 易错警示 二次根式运算的易错点 两个二次根式的和不等于这两个被开方数的和的算术平方根,两个数平方差的算术平方根不等于这两个数的差,运算时需注意. 5. 计算: (1) (-2)2++6. (2) 2+(-1) (+1). (1) 原式=3+4-4+2+6 =3+4-4+2+2=7. (2) 原式=+3-1=3-+3-1=4. 考点五 二次根式的创新问题 典例6 先阅读材料,再解答问题: 化简:+. 由于题中没有给出x的取值范围,所以要分类讨论. +=+=|x-3|+|x+2|. 令x-3=0,x+2=0,分别求出x=3,x=-2,此时我们称3,-2分别为, 的零点值,然后在数轴上标出表示3和-2的点,数轴被分成三段,即 x<-2,-2≤x<3,x≥3,如图①所示. 当x<-2时,原式=-(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1; 当-2≤x<3时,原式=-(x-3)+(x+2)=-x+3+x+2=5; 当x≥3时,原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+2=2x-1. (1) 分别求出和的零点值. (2) 化简:+. 思路导引 (1) 求出使所给被开方式的底数为零的x的值即可.(2) 将所给的二次根式中的被开方式进行配方,求出使底数为零的x的值,再根据x的取值进行分类讨论. 规范解答 (1) =|x+1|