专题07函数的奇偶性与周期性讲义-2024届高三数学二轮复习

07函数的奇偶性和周期性 【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.奇偶性常见结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 4.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 【典例精析】 考点一、奇偶性的判定 1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 2. 函数y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是（ ） 3. 已知函数是偶函数，则______. 4. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5. 设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　) A．|g(x)|是偶函数　　　　 B．f(x)g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数 6. 设函数，则f(x) (　　) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 考点二、利用奇偶性求解析式 7. 设f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则当x<0时，f (x)＝(　　) A． B． C． D． （2）设函数（a为常数）．若为奇函数，则f（x）=________ 8. 设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 9.奇函数在上为增函数，且（1），则不等式解集为 A．，， B．，， C．，， D．，， 考点三、利用奇偶性画函数图像 10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________． 11．函数在的图像大致为 12.若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 考点四、周期性判定与作用 13．（1）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当x∈(2，4)时，f(x)＝x3－3x， 则f(2 021)等于(　　) A. 2 B. －18　 C. 18　 D. －2 （2）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 15. 已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②； ③当时，.若，则（ ） A． B．1 C． D．2 16. 已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，，若，则（ ） A．2020 B．3 C．2 D．1 考点五、函数的奇偶性、周期性、单调性综合应用 17. （1）定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减(　　) A．[3，7] B．[4，5] C．[5，8] D．[6，10] （2）已知函数，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是1　　　　　　　　B．函数f(x)是单调递减函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝1轴对称　　　D．函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称 18. 关于函数f（x）=有如下四个命题，其中所有真命题的