2024年中考数学二轮复习高频考点突破：相交线、平行线与平移 课件

相交线、平行线与平移 考点一 由相交线求角的度数 典例1 (2023 亳州期末)如图,直线AB,CD相交于点O,且∠AOC∶∠AOD=1∶2,OE平分∠BOD. (1) 求图中∠BOD的补角的度数. (2) 若∠EOF=90 ,求∠COF的度数. (典例1图) 思路导引 (1) 根据∠AOC∶∠AOD=1∶2,可以求出∠AOC与∠AOD的度数,根据补角的定义解答即可.(2) 先求出∠BOD=60 ,再根据OE平分∠BOD,求出∠DOE的度数,然后根据∠EOF=90 ,求出∠DOF的度数,最后用180 减去∠DOF的度数,即可求出∠COF的度数. 规范解答 (1) 因为∠AOC∶∠AOD=1∶2, 所以易得∠AOC= 180 =60 ,∠AOD= 180 =120 . 因为∠BOD+∠AOD=180 , 所以∠BOD的补角的度数是120 . (2) 因为∠AOD=120 , 所以∠BOD=180 -∠AOD=180 -120 =60 . 因为OE平分∠BOD, 所以∠DOE=∠BOD=30 . 因为∠EOF=90 , 所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=90 -30 =60 . 所以∠COF=180 -∠DOF=180 -60 =120 . 方法归纳 由相交线求角的度数的常用方法 (1) 未知角转化成两个已知角的和或差;(2) 对顶角相等;(3) 等角(或同角)的余角(或补角)相等. 1. 如图,直线AB和CD相交于点O,射线OE⊥AB于点O,射线OF⊥CD于点O,且∠BOF=25 . (1) 求∠AOC与∠EOD的度数. 解:(1) 因为OF⊥CD,所以∠FOD=90 .因为∠BOF=25 ,所以∠BOD=∠FOD+∠BOF=90 +25 =115 .所以∠AOC=∠BOD=115 .因为OE⊥AB,OF⊥CD,所以∠BOE=∠FOD=90 .所以∠BOF+∠FOE=90 ,∠EOD+∠FOE=90 .所以∠EOD=∠BOF=25 . (第1题) (2) 若∠BOF= ,求∠BOD的度数. 解:(2) 因为OF⊥CD,所以∠FOD=90 .因为∠BOF= ,所以∠BOD=∠BOF+∠FOD= +90 . (第1题) 考点二 平行线的判定 典例2 如图①,若∠1+∠MEN+∠2=360 ,试说明:AB∥CD. (典例2图①) 思路导引 如图②,过点E作射线EF,使∠1+∠MEF=180 ,则AB∥EF,再根据∠1+∠MEN+∠2=360 ,可得∠FEN+∠2=180 ,根据同旁内角互补,可得出EF∥CD,进而得到AB∥CD. 规范解答 如图②,过点E作射线EF,使∠1+∠MEF=180 , 所以AB∥EF. 因为∠1+∠MEN+∠2=360 , 所以∠FEN+∠2=180 . 所以EF∥CD. 又因为EF∥AB, 所以AB∥CD. (典例2图②) 方法归纳 添加辅助线说明问题 当几何问题直接求解比较困难时,可通过添加辅助线来加以解决,这是处理几何问题的常用方法.添加辅助线可将不相关、分散的条件进行转化,从而搭建已知和未知之间的桥梁. 2. 如图①,∠EAC=90 ,∠1+∠2=90 ,∠1=∠3,∠2=∠4. (1) 试说明:DE∥BC. 解:(1) 因为∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1+∠2).因为∠1+∠2=90 ,所以∠1+∠3+∠2+∠4=180 .因为∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360 ,所以∠D+∠B=180 .所以DE∥BC. (2) 若将图形改变为②③,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?若成立,请予以说明;若不成立,请说明理由. 解:(2) 成立.如图②,连接EC.因为∠1=∠3,∠2=∠4,且∠1+∠2=90 ,所以∠3+∠4=∠1+∠2=90 .因为∠EAC=90 ,所以∠AEC+∠ACE=180 -90 =90 .所以∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180 .所以DE∥BC,即(1)中的结论仍成立. (第2题) 如图③,延长ED,与AB相交,因为∠EAC=∠1+∠EAB=90 ,∠1+∠2=90 ,所以∠2=∠EAB=∠4.因为∠6+∠4+∠EAB=180 ,∠5+∠6=180 ,所以∠5=∠4+∠EAB=2∠4.因为∠1=∠3,∠2=∠4,∠1+∠2=90 ,所以∠3+∠4=90 .所以2∠3+2∠4=180 .因为∠B+∠1+∠3=180 ,∠1=∠3,所以∠B+2∠3=180 .所以∠B=2∠4.所以∠5=∠B.所以DE∥BC. 考点三 平行线的性质 典例3 如图,AB∥CD,点M,N分别在AB,CD上,点P,Q分别在∠AMN,∠DNM的内部,连接MP,PQ,QN,NQ平分∠MND. (典例3图) (1) 若∠AMN=60 ,求∠DNQ的度数. (2) 若PM∥