数列求通项的6种常用方法 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

数列求通项的6种常用方法 一、作差法： 一般地，对于已知的混合式中，求的问题，通常用做差法：. 例1、已知数列的前项和为，且，求. 解：当时， 当时， 当时也成立，故 注： ①在研究数列时，通常要分成和两种情况进行研究，其原因是有些数列，可能从第项起才逐渐有规律。 ②在一题中，也会出现的混合式中，求的相关题目，遇到此类题型，需要通过，将替换。 变式1、已知数列的前项和为，且，求. 解：当时， 当时， 当时，与得到的通项不成立，故 . 变式2、设是正项数列的前项和，且,，证明是等差数列，并求的通项公式. 解：欲证明是等差数列，只需证等于一个常数。 当时， 当时，因为，所以原式等价于 整理得：，所以是以为首项，公差为的等差数列。 故，解得 例2、已知，求的通项公式. 解：设，原式等价于求的前项和。所以先求出的通项公式，进而求出的通项公式. 设的前项和为 解：当时， 当时， 故当时，;当时，于得到的通项不成立。 故 注：在研究数列时，可以通过换元法将数列转化，更有助于我们思考问题。 二、做商法： 一般地，对于已知，求的问题，用做商法： 例3、已知数列满足，，求 解：当时，解得. 当时，设，则等价于数列的前项积，设的前项积为，则 ，整理得 ，当时，不符合通项。所以 例4、已知数列满足, 求 解：由题可知, 当时, 解得，; 当时，设，则 故 整理得,解得,当时成立。故 三、累加法： 一般地，对于已知，求的问题，用递推累加法：，需要注意的是是可求和的。 例5、已知数列满足，，求. 解：当时, ; 当时, ,当时也成立 所以 例6、已知数列满足，，求. 解：当时, ; 当时,,当时也成立 所以 注：高中阶段可求和的不多，这里就不做总结，平时需要对可求和型做积累。 四、累乘法： 一般地，已知，求，用递推累乘法： 例7、已知数列中，，且，求. 解：当时，，则,故，当时也成立 所以 五、构造等比数列： 例8、若，求 解：设，解得 故是以为首项，公比为2的等比数列。 所以，即,当时也成立。 所以 例9、若，求 解：设,整理得 所以；解得，所以是以为首项，公比为2的等比数列，故,整理得，当时也成立。所以 注：若递推公式满足的形式中，若时，常常可以构造成一个等比数列。 六、构造等差数列 例1、若，求 解：由得,设，原式等价于， 故是以为首项，公差为1的等差数列。所以,即 七、作业 一、单选题 1．已知数列的前项和，则数列的前10项和为（    ） A．65 B．67 C．61 D．56 2．已知数列的前项和为，，，，下列说法不正确的是（    ） A． B．为常数列 C． D． 3．已知{an}满足，，则的值为（    ） A．48 B．96 C．120 D．130 4．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 6．已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．已知数列满足，（），则满足的的最小取值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知正项数列满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列的前n项和为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则为等差数列 B．若，则为等比数列 C．若为等差数列，则为等差数列 D．若为各项都为正数的等比数列，则为等比数列 10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 11．小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 三、填空题 12．已知正项数列满足，则 . 13．已知数列的前项和，且恰好有一项是负项，则的值是 ． 14．在数列中，，且，则的通项公式为 ． 四、解答题 15．已知数列的前n项和，且的最大值为． (1)确定常数，并求； (2)求数列的前15项和． 16．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 17．在数列中，. (1)证