10.2　事件的相互独立性（教学设计）--【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

10.2　事件的相互独立性 教学设计 1、 课时教学内容 本节的内容是事件的相互独立性，主要包括事件的相 互独立性定义、计算公式以及独立性在概率计算中的应 用.教材通过指出互斥事件、对立事件的概率性质，以及和 事件的概率计算方法，这些在前面已经学习，那么就剩下 积事件的概率还没有进行研究了，顺其自然地引出研究事 件的相互独立性的需求. 本节内容是学习概率的基本性质之后的重要内容，把 握好事件的独立性定义，以及区分相互独立事件与对立事 件是解决这节问题的关键. 2、 课时教学目标 1.理解相互独立事件的概念及意义 2.能记住相互独立事件概率的乘法公式； 3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题 3、 教学重点、难点 1.重点：两事件相互独立的含义及公式， 利用其解决实际问题。 2.难点：在实际问题中， 判断两事件是否相互独立。 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？ 环节二 观察分析，感知概念 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题． 探究 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”． 试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设“第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”． 分别计算，，，你有什么发现？ 【预设的答案】不会；因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率 【设计意图】概念不是凭空产生的，通过简单例子，让学生感受“事件互相独立”这样的情况是客观存在的，是源于实际生活的. 【数学情境】分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？ 【设计意图】创设数学情境，通过计算这些事件的实例，让学生感受在数学学习中，从想法到实际验证的距离，培养数学核心素养，关注能力提升. 显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率． 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率． 在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为 ，包含4个等可能的样本点．而，，所以．由古典概型概率计算公式，得 ，． 于是 ． 积事件的概率恰好等于与的乘积． 在试验2中，样本空间，而 ， ， ． 所以 ，． 于是也有 ． 积事件的概率也等于与的乘积． 环节三 抽象概括，形成概念 从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：对任意两个事件A与B，如果 成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立． 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立．这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响．当然，它们也不影响其他事件是否发生． 环节四 辨析理解，深化概念 探究 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与，与B，与是否独立，你有什么发现？ 对于A与，因为，而且AB与互斥，所以 ， 所以． 由事件的独立性定义，A与相互独立． 类似地，可以证明事件与，与也都相互独立． 我们知道，如果三个事件两两互斥，那么概率加法公式成立．但当三个事件两两独立时，等式一般不成立． 【活动预设】学生能回答正确结论，但不知如何证明。 【设计意图】理解相互独立事件，培养逻辑推理素养. 思考4：若事件A与B相互独立, 则 也相互独立吗？ 【活动预设】部分同学正确回答，部分同学还不知如何验证. 教师讲授：根据事件之间的关系，还有集合的一些知识进行合理推理，并让学生理解集合与事件的关系. 【设计意图】理解互相独立所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对问题的探究思路，通过类比、联想解决类似结论. 环节五 概念应用，巩固内化 例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两