6.4.1 平面几何中的向量方法+6.4.2 向量在物理中的应用举例-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

1、用向量解决几何中的平行、垂直、长度/距离、角度等问题； 2、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系； 3、通过平面向量基本定理，将向量的运算化归为实数的运算. 学习目标 6.4.1 平面几何中的向量方法 高一下学期 2 例题：在正方形中，点分别是的中点，求证：. 法二(基底)： 法一(几何法)： 几何元素 平面向量 几何关系 运算 翻译 表示 验证：？ 又在正方形中，， ， ，即 典例精析 例题：在正方形中，点分别是的中点，求证：. 验证：？ 法二(基底) 法三(坐标)：以为原点建系如图，设边长为2， 则， 则， ， 典例精析 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 归纳总结 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素， 如图，取为基底，设，， 则，. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，. 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：. 例题：如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？ 典例精析 思考：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？ 平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍 思考：；，上面两式相加，得，那两式相减呢？ 极化恒等式： 平行四边形对角线的平方差=邻边数量积的4倍 新知探究 练习：平行四边形，，，，则__________. 练习：等边内接于半径为2的圆，点是圆上的一个动点，则的取值范围是__________________. [-2，6] 解：由极化恒等式得， 由几何关系易得，，即. 所以 习题演练 练习：点是边长为2的等边所在平面内的一点，则的最小值是__________________. 解：取的中点，的中点，易得 由极化恒等式得， 思考：你还有别的方法吗？ x y 法二：建系如图，则设， 则， ， 习题演练 2、如图所示，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值. 教材P39 3、如图，中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，求的值. 教材P39 方法技巧：平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 ①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明. ②坐标法：先建直角坐标系，写出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 归纳总结 6.4.2 向量在物理中的应用举例 高一下学期 13 例题：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种现象吗？ 解：如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，， 为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为， 旅行包所受的重力为.由向量的平行四边形法则、力的平衡 以及直角三角形的知识，可以知道. 当由0变大到时，由0变大到，由大变小，此时由小变大； 当由变小到0时，由变小到0，由小变大，此时由大变小. 这就是说，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力. 典例精析 思考1:当为何值时，最小？最小值是多少？ 思考2：能等于吗？为什么？ 事实上，要使最小，只需最大，此时，可得. 于是的最小值为. 若要使，只需，此时，即. 典例精析 例题：如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)？ 解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短. 如图，设，则 此时，船的航行时间 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 典例精析 1、一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功. 教材P41 2、如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4，4和，此时整个系统恰好处于平衡状态，求的大小. $$