专题9.1 计数原理综合【九大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题9.1 计数原理综合【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 分类、分步计数原理的应用】 2 【题型2 涂色问题】 3 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 5 【题型4 相邻、不相邻排列问题】 6 【题型5 分组分配问题】 6 【题型6 排列、组合的综合问题】 7 【题型7 展开式中的特定项或特定项的系数问题】 8 【题型8 二项式系数和与各项系数的和问题】 8 【题型9 二项式系数的最值问题】 8 1、计数原理综合 计数原理是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理、分组分配等问题，难度不大；二项式定理问题也是高考的热门内容，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度中等，二轮复习时需要加强这方面的练习. 【知识点1 分类、分步计数原理的应用】 1.分类加法计数原理的解题策略 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准； (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才 是不同的方法，不能重复； (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 2.分步乘法计数原理的解题策略 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步 必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 【知识点2 排列组合常见问题的分类与解题策略】 1.排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. (6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究. 2.组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3.分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【知识点3 展开式中的通项问题】 1.展开式中的通项问题的求解方法： (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零； 求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【知识点4 二项式系数的最值问题】 1.二项式系数的最值问题的求法： 二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为； 当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 【题型1 分类、分步计数原理的应用】 【例1】（2023·全国·模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 【变式1-1】（20