重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】 【新高考专用】 【题型1 轨迹方程】 4 【题型2 圆锥曲线的弦长问题】 5 【题型3 圆锥曲线的“中点弦”问题】 7 【题型4 斜率之和差商积问题】 8 【题型5 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积问题】 9 【题型6 圆锥曲线中的最值或取值范围问题】 11 【题型7 圆锥曲线中的定点、定值问题】 12 【题型8 圆锥曲线中的定直线问题】 13 【题型9 圆锥曲线与向量综合】 15 【题型10 圆锥曲线中的探索性问题】 16 【题型11 圆锥曲线新定义】 18 平面解析几何是高考数学的重要考查内容，其中圆锥曲线是高考的必考内容之一，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量较大.从近几年的高考情况来看，在解答题中的考查主要有三个方面：一是平面解析几何通性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定点、定值或定直线等问题的求解；三是圆锥曲线中的常见模型. 圆锥曲线的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”，所有的圆锥曲线有关试题都是围绕这些核心内容展开；试题难度较大，需要灵活求解． 【知识点1 动点轨迹问题】 1.求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程有如下几种方法： (1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； (2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； (3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的 曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程； (4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即 为动点的轨迹方程； 【知识点2 圆锥曲线中的弦长问题】 1．椭圆的弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．椭圆的“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 3．双曲线的弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 4．双曲线的“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 5．抛物线的弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 6．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【知识点3 圆锥曲线中最值或取值范围问题的解题策略】 1. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何法，即通过利用曲线的定