7.3 复数的三角表示课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3 复数的三角表示 1 前面我们已经学习了复数及其四则运算,本节我们来研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示.复数的三角表示的形式是什么? 它又有哪些作用? 让我们一起来探究吧. 问题1 前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义, 请同学们回忆一下它们分别是什么? 复数的几何意义 复数 z = a + bi 一一对应 复平面内的点Z(a, b) 平面向量 OZ 一一对应 一一对应 追问1 你能在复平面内用平面向量表示 吗? 追问2 已知平面向量 , 能唯一确定与之对应的复数 吗?复数 的表达式是什么? 问题2 复数 与向量 一一对应,向量 既可以由它的坐标 唯一确定,也可以由它的大小和方向唯一确定. 请观察下图,能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢?你认为如何表示? Z 追问1 为了解决问题2,首先应研究什么? Z 追问2 如何用文字语言表述角 ? 是以x轴的非负半轴为始边,向量 所在的射线(射线 ) 为终边的角. Z 追问3 你能用向量 的模和角 来表示复数 吗? 向量的大小: 由模刻画 向量的方向: 由角刻画 角的选择: 以 x 轴的非负半轴为始边, 向量 所在射线(射线OZ)为终边的角 . 追问4 刚才我们画的图形,角 的终边落在第一象限,得到 ,这个式子是否具有一般性呢?即: (1)若角 的终边落在第二、三、四象限,这个式子成立吗?(2)若点Z在实轴或虚轴上,即角 的终边落在实轴或虚轴上时,这个式子也成立吗? 归纳: 一般地,任何一个复数 都可以表示成 的形式.其中 是复数的模; 以 x 轴的非负半轴为始边,向量 所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数 的辐角. 叫做复数 的三角表示式,简称三角形式. 问题3 一个复数的辐角的值有多少个? 追问1 这些辐角的值之间有什么关系呢? 追问2 若复数为0,它的辐角是哪个角? 这些值之间相差 的整数倍. 复数0的辐角是任意的. 问题4 在研究问题时,复数辐角的多值性有时会给我们带来不便,为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表,你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适? 追问 一个非零复数辐角的主值有多少个? 每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值. 归纳: 我们规定在 范围内辐角 的值为辐角的主值. 通常记作为 ,即: 例如: 例1 画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式: 解:(1)复数 对应的向量如图所示. ∵ 对应的点在第一象限, ∴ ∴ ∴ 例1 画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式: 解:(1)复数 对应的向量如图所示. ∵ 对应的点在第四象限, ∴ 归纳: 1.关键是确定复数的模和一个辐角; 2.利用模长公式求出r; 3.借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限,求出 的一个三角函数值,再借助复数所在象限,求出 的一个值,一般是辐角主值. 例2 分别指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示成代数形式: 解:(1)复数 的模 一个辐角 . (2)复数 的模 一个辐角 . 问题5 是三角表示式吗?说出你的理由. 追问 观察复数的三角表示式 ,你能总结出它的结构特征吗? (1) r 是复数的模,r > 0; (2) 式中的三角函数是同一个辐角值的余弦和正弦; (3) cos 在前,sin 在后; (4) cos 和 sin 之间用 “+” 连接. 例3 判断下列复数是不是三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式. 解: 解: 问题6 两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么?两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢? 两个复数相等当且仅当两个复数的模相等且辐角主值相等. 两个复数 相等 两个复数对应 的向量相同 两个向量的长度相等,方向相同 复数的模相等 辐角主值相等 在前面的学习中,我们研究了复数代数形式的乘、除运算,下面我们利用复数的三角表示来研究复数乘除法的运算及其几何意义. 问题7 如果把复数 分别写成三角形式 , ,请计算 并将结果分别表示成三角形式吗? 归纳: 模相乘 辐角相加 两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 追问1 我们知道复数的加、减运算具有几何意义,那么复数 乘法很可能也具有几何意义.请你借助复数乘法运算 的三角表示进行探索、尝试. 辐角: OZ1 逆时针旋转 2( 2 > 0), 得到 1 + 2. 模: OZ1 的模变为原来的 r2 倍, 得到 r1 r2. 追问2 你能解释 和 的几何意义吗? 将 对应的向量绕点 按逆时针方向旋转 ,得到 对应的向量. 将 对应的向量绕点 按逆逆针方向旋转 ,得到 对应的向量. 例4 已知 ,求 ,请把结果化为代数形式,并做出几何解释. 解: 首先作与 对应的向量 ,然后把向