7.2.2 复数的乘、除运算 导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算 一、学习目标 1.能类比多项式的乘法法则得出复数的乘法法则，能描述复数乘法的运算法则及交换律、结合律和乘法对加法的分配律； 2.能描述复数除法的运算法则，会利用共轭复数将复数除法运算转化为乘法运算； 3. 能在复数范围内求一元二次方程的根. 二、学法指导 1.复数的乘法与除法运算中，重点是乘法运算.通过类比多项式的乘法，教材规定了复数乘法，我们要从以下两个方面理解这个规定的合理性： 1）当时，两复数的积就是对应两实数的积，与实数乘法法则一致； 2）验证实数乘法运算律在复数集中仍然成立； 2.对于复数的除法重点在于理将复数的除法运算转化为复数的乘法运算. 任务一：回顾复数的加、减法运算法则 问题1：复数的加、减法法则： 设,, 则, . 问题2.复数的加法满足交换律、结合律： , . 任务二：学习复数乘法运算法则 问题3：请同学们将多项式展开 问题4：类比多项式的乘法，复数的乘法如何运算呢？ 我们感受到在整个数系扩充的过程中，从有理数到实数再到现在引入复数，我们都希望在新数系中的加法、乘法运算与原数系中协调一致，进而上节课我们规定了复数的加法运算法则，同样在此“规则”的引导下，我们类比多项式的乘法将复数的乘法法则规定如下： 设,,则 问题5：请同学们思考以下两个问题： 1 两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 2 当时，与实数加法法则一致吗？ 特别地，当为实数时，即,那么两复数的积就是对应两实数的积. 问题6：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 我们来证明复数的乘法满足交换律，证明如下： 设,,则 , 所以有，因此复数的乘法满足交换律.复数乘法的结合律以及对加法的分配律，大家自己试着证明一下吧！ 对于任意, 有 , . 下面我们来用乘法法则做以下4个练习 例1.计算 : （1） （2） 例2.计算 : （1） （2） 任务三：探究复数除法运算法则 问题7：除法是乘法的逆运算，你能类比由复数的加法运算法则推出减法运算法则的过程，推导出复数的除法法则吗？ ※推导过程如下：设,，则： 设，目标求， 因为,根据复数的乘法法则将等式左侧展开有： 所以根据两复数相等的条件有： 由此可得： 于是有： ,至此可得复数的除法法则. 问题8：你还有其他办法解决复数的除法运算吗？ 回顾例2（2）是两个共轭复数相乘，所得结果是一个数，这个数有什么和这两个复数有什么关系呢？的结果是什么？ 推广： 我们发现，共轭复数还有一些性质： ※如果为共轭复数则有：① ② 复数的除法法则显然不好记，我们观察,可以类比分式求值时分母为无理数的时候我们的做法是将分母“有理化”，那么这里我们可以将看成分母中的无理数，对其化简，即上下同乘将其“实数化”，可得： 下面我们来用除法法则做以下4个练习 例3.计算: （1） （2） 例4.在复数范围内解下列方程: （1） （2），其中 小结：我们发现在实数集中无解的方程，在复数集中都可解，由此可见数系扩充的必要性 问题8：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法等方面谈谈． 知识方面：学习了复数的乘法法则、运算律，会解决复数的乘法运算；学习了复数的除法法则，会利用共轭复数将复数除法运算转化为乘法运算． 思想方法方面：类比多项式的乘法得到复数的乘法运算法则；将复数的除法运算转为复数的乘法运算． 自学检测： 1．复数的实部为（ ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 2．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．复数（ ） A． B． C． D． 4．若复数，则在复平面内复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 5．已知复数，则___． 6．若复数满足方程，则___． 学科网（北京）股份有限公司 $$