4.5.1函数的零点与方程的解 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 学习目标 1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点) 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点) 1、 探究新知 巩固基础 知识点1　函数的零点 (1)函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使 叫做函数y＝f(x)的零点． 二、初步探索 直观感知 问题1：方程的根与相应函数图象有什么联系? 1.求下列方程的根． ①x-1=0 ②x2-2x-3=0 ③3x+2x-6=0 2.分别画出对应的函数的图象 ①y=x-2 ②y=x2-2x-3 知识点2　函数、方程、函数图象之间的关系 (2)函数、方程、函数图象之间的关系 函数y＝f(x)的 ⇔方程f(x)＝0的实数解 ⇔函数y＝f(x)的图象与 交点的横坐标 趁热打铁： 例1 求函数f(x)=(x-1)(x2-4)的零点（ ） A.(1，0)，(2，0)，(-2，0) B.1，2 C.(0，1)，(0，2)，(0，-2) D.1，2，-2 例2：函数y=f(x)的图象如下，则其零点为__________. 三、合作互动 探究新知 问题1：函数都有零点吗？ 问题2：什么条件下的函数一定有零点？ 换维思考：现在有两组镜头（如图），哪一组能说明她的行程一定渡河?如图所示，有位同学想过河，渡过河流的路线有哪些？请动手画一画。 若将河流抽象成x轴，前后的两个位置视为A、B两点，设A点横坐标为a,B点横坐标为b请大家用连续不断的曲线画出她的可能路径。 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象 （1）f(-2)___0(<或>),f(1)___0(<或>)函数f(x)在区间[-2,1]内___（有/无）零点。 （2）f(2)___0(<或>),f(4)___0(<或>)函数f(x)在区间[2,4]内___（有/无）零点。 思考：如何保证f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点？ 知识点3　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 判断对错并画图举反例 （1）已知函数y=f (x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b) <0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点.（ ） （4）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(x)在区间(a，b)内存在零点，则f(a)·f(b) <0.（ ） 趁热打铁： 1.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ） A.(-2，-1); B.(0，1); C.(1，2); D.(2，3) 2.若函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值是( ) A.0 B.正数 C.负数 D.无法判断 例：判断函数是否有零点？ 追问：函数 有几个零点？ 给定理增加什么条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点? 追问2：若函数不单调，如何求零点个数？ A(-3,-5) B(2,7) C(5,-3) D(7,-1) · · · ·