8 数学广角——找次品（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版

五年级下册数学“数学广角——找次品”讲义 一、基础知识讲解 在日常生活和工业生产中，我们经常需要对一批产品进行检查，以找出其中的次品。这类问题在数学上通常被称为“找次品”问题。解决这类问题的关键是运用逻辑推理和数学方法，以最少的检测次数找出次品。 解决找次品问题的一般步骤是： 1. 明确问题：了解产品的总数、次品的数量以及检测的条件。 2. 制定策略：根据问题的特点，确定检测的顺序和方法。 3. 执行检测：按照制定的策略进行检测，并记录结果。 4. 分析结果：根据检测结果，分析并确定次品的位置。 在解决找次品问题时，常用的数学方法包括分组法、称重法等。这些方法需要根据具体问题的特点进行选择和应用。 二、例题解析 例1：有9个外观完全相同的乒乓球，其中一个是次品（次品较轻），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品乒乓球？ 解析：我们可以将9个乒乓球分为三组，每组3个。 1. 第一次称重：选择两组各3个的乒乓球进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这6个乒乓球都是正常的，次品乒乓球一定在未被称重的那组3个里。 情况B：如果两边不平衡，说明次品乒乓球一定在较轻的那组3个里。 2. 第二次称重：从第一次称重确定的那组3个乒乓球中任取2个进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这两个乒乓球都是正常的，次品乒乓球就是未被称重的那个。 情况B：如果两边不平衡，较轻的那个就是次品乒乓球。 因此，最少称2次一定能找出这个次品乒乓球。 例2：有12瓶矿泉水，其中有一瓶是次品（次品较重），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品矿泉水？ 解析：首先，我们可以将12瓶矿泉水分为三组，每组4瓶。 1. 第一次称重：选择两组各4瓶的矿泉水进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这8瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在未被称重的那组4瓶里。 情况B：如果两边不平衡，说明次品矿泉水一定在较重的那组4瓶里。 2. 第二次称重：从第一次称重确定的那组4瓶矿泉水中再分为三组，分别为1瓶、1瓶、2瓶，将两组各1瓶的矿泉水进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这两瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在剩下的那组2瓶里。 情况B：如果两边不平衡，较重的那一瓶就是次品矿泉水。 3. 第三次称重（仅当第二次称重后次品在剩下的2瓶中时）：将剩下的2瓶矿泉水进行称重，较重的那瓶就是次品矿泉水。 因此，最少称3次一定能找出这个次品矿泉水。 三、表格汇总 以下是关于找次品问题的一些常见策略和方法的表格汇总： 表1：找次品问题常用策略 策略 描述 适用情况 分组法 将产品分成若干组进行称重比较 产品数量较多，且可以分组进行称重时 称重法 使用天平对产品进行称重，比较重量差异 次品与正常产品在重量上有明显差异时 逻辑推理法 根据已知信息进行逻辑推理，确定次品的位置 问题条件复杂，需要综合运用多种信息时 表2：找次品问题示例 示例编号 产品总数 次品数量 次品特征 称重次数 策略 1 9个乒乓球 1个 较轻 2次 分组法+称重法 2 12瓶矿泉水 1瓶 较重 3次 分组法+称重法 四、考法技法提炼 1. 明确问题条件：在解决找次品问题时，首先要明确产品的总数、次品的数量以及次品的特征（如轻重、颜色等）。这些信息是制定检测策略的基础。 2. 制定合理策略：根据问题的条件，制定合理的检测策略。一般来说，分组法和称重法是解决找次品问题的常用方法。在实际应用中，可以根据问题的特点灵活运用这两种方法。 3. 注意逻辑推理：在解决找次品问题时，逻辑推理是非常重要的。通过逻辑推理，我们可以根据已知信息推断出未知信息，从而更快地找出次品。 4. 总结规律：在解决多个找次品问题后，可以总结规律，以便在遇到类似问题时能够更快地找到解决方法。 五、易错题解析 例3：有27盒外观相同的巧克力，其中有一盒少了两块，如果用天平称，至少称几次可以找出少两块巧克力的那盒？ 错误解法：有的学生可能会直接将27盒巧克力分为三组，每组9盒进行称重。然而，这样并不能在第一次称重中直接找出少两块巧克力的那盒，因为即使确定了哪一组较轻，也还需要进一步称重来找出具体的那一盒。 正确解法：首先，将27盒巧克力分为三组，每组9盒。第一次称重，选择两组各9盒的巧克力进行称重。确定出较轻的那一组后，再将这9盒巧克力分为三组，每组3盒。第二次称重，选择两组各3盒的巧克力进行称重。最后，将确定出的较轻的那组3盒巧克力中的任意两盒进行称重，如果平衡，则剩下的一盒就是少了两块巧克力的；如果不平衡，较轻的一盒就是目标。因此，至少称3次可以找出少两块巧克力的那盒。 易错点：未考虑到在确定了较轻的一组后，还需要进一步细分并进行称重。 六、针对练习 1. 有15个零件，其中一个是次品（