18.2.3 正方形 课件 2023--2024学年人教版八年级数学下册

18.2.3 正方形 正方形的性质和判定 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点） 学习目标 复习引入 1、说一说、矩形、菱形的性质？ 正方形的性质 问题1：矩形、菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 矩形 正方形 菱形 正方形 归纳总结 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角直角 正方形 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 一组邻边相等的矩形是正方形 一个角为直角的菱形是正方形 正方形性质: 角 ：四个角都是直角 对称性：是轴对称图形,有四条对称轴。 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有。 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 正方形的判定 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形. 证明结论 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO ， ∵AC⊥DB, ∴ AB=BC ∴四边形ABCD是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.看是不是正方形. 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 一个角是直角 对角线相等 证明结论 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 总结归纳 正方形判定的几条途径： 先判定菱形 ①一个直角②对角线相等 二选一 正方形 先判定矩形 ①一组邻边相等②对角线垂直 二选一 正方形 平行四边形 正方形 ①一邻边相等 ②一内角直角 同时满足 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 例题精炼 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? 证明：四边形EFMN是正方形,理由如下 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形 ∵∠AEN+∠ANE=90° ∴∠AEN+∠BEF=90° ∴∠NEF=90° ∴四边形EFMN是正方形 例4 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形. 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形EDFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG.同理得DG=DF， ∴ED=DF， ∴四边形EDFC是正方形. 1、如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且