7.2.2复数的乘、除运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2 复数的乘除运算 知识回顾： 1.复数的加减运算： 2.复数 的共轭复数？ 学习目标 1、理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则； 2、理解除法运算是乘法运算的逆运算； 3、理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题; 1.复数的乘法运算： 1.复数的除法运算： 分母有理化 分母实数化 1.复数的乘法与除法运算法则 （1）设 ，则 ______________________ __________________________ 2.乘法运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即：对任意 ，有 ____ ______ ______ 题型1复数的乘、除运算 例1　计算下列各题： (1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)； (2)； (3). 解析：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)＝(2－i＋2i－i2)(3＋2i)＝(3＋i)(3＋2i)＝9＋6i＋3i＋2i2＝7＋9i. (2)＝＝＝＝－i. (3)＝＝＝(－1)4＝1. 【方法归纳】 1．复数乘法运算的技巧 (1)复数乘法与实数多项式乘法类似，在计算两个复数的乘积时，先按照多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可． (2)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致． (3)在复数乘法运算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．例如(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． 2．复数除法运算的技巧 (1)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似． (2)复数除法运算的结果要进行化简，通常要写成复数的代数形式，即实部与虚部要完全分开的形式． (3)常用公式：＝－i，＝i，＝－i. 跟踪训练1　(1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝(　　) A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i 答案：B　 解析：由题意得z＝1＋2i，∴iz＝i－2.故选B. (2)＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案：D 解析：＝＝＝－i，故选D. 题型2复数运算的综合应用 角度1　i的乘方的周期性的应用 例2　计算：i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021. 解析：i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 021＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＋i2 021＝0＋0＋…＋0＋i＝i. 【方法归纳】 利用i幂值的周期性解题的技巧 (1)熟记i幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i. (2)对于n∈N*，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 角度2　与共轭复数有关的运算 例3　若复数z＝1＋2i，则(z＋)·＝________． i 解析：(z＋)·＝(1＋2i＋)·(1－2i) ＝(1＋2i)(1－2i)＋＝5＋＝5＋＝i. 【方法归纳】 与共轭复数有关问题的解决方法 (1)若复数z的代数形式已知，根据共轭复数的定义表示出，再进行复数的四则运算； (2)若复数z的代数形式未知，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式或方程，利用复数相等的充要条件，转化为解方程(组)问题． 角度3　与复数的模有关的运算 例4　若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 答案：D 解析：z2＝2＝2i，则z2－2z＝2i－2＝－2. 故＝＝2.故选D. 【方法归纳】 对已知的复数先运算再求模． 角度4　与复数几何意义有关的运算 例5　(1)复数在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：＝＝i(1＋i)＝－1＋i，在复平面内，对应点的坐标为(－1，1)，位于第二象限．故选B. 答案：B　 (2)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　) A．i B．1 C．－i D．－1 答案：C 解析：∵z＝(a－)＋ai为纯虚数， ∴，∴a＝， ∴＝＝＝＝＝－i，故选C.