7.1.2 复数的几何意义课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.2 复数的几何意义 1.复平面的定义：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做________，y轴叫做________，实轴上的点都表示_______；除______外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2.复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点_____； （2）复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 ______. 实轴 虚轴 实部 原点 一 一对应 一 一对应 阅读教材P70－P72， 4. 共轭复数的概念 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为________，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数 ＝________，虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数． 共轭复数 3. 复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为 ，则 的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝________. 题型1复数的几何意义 角度1　复数与复平面内点的位置关系 例1　(1)当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D　 解析：∵<m<1， ∴2<3m<3， ∴3m－2>0，m－1<0， ∴z在复平面内对应的点的坐标在第四象限．故选D. (2)实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点 ①位于第二象限？ ②位于直线y＝x上？ 解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2). ①由点Z位于第二象限得 解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1). ②由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1. 【方法归纳】 (1)判断复数对应的点所在的象限，应先判断复数的实部、虚部的符号，再类比平面直角坐标系进行判断． (2)根据复数与复平面内的点Z一一对应的关系可通过点Z的位置来求参数的取值．点的横坐标对应复数的实部，点的纵坐标对应复数的虚部． 角度2　复数与复平面内向量的对应关系 例2　(1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量对应的复数为(　　) A．－3＋2i B．－2＋10i C．4－2i D．－12i 答案：B　 解析：由复数的几何意义知： ＝(1，4)，＝(－3，6) ∴＋＝(1，4)＋(－3，6)＝(－2，10) ∴向量＋对应的复数为－2＋10i.故选B. (2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解析：记O为复平面的原点，由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3). 设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)， ＝(－5，－5). 由题知，＝， 所以即 故点D对应的复数为－3－2i. 【方法归纳】 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练1　(1)在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 解析：因为复数－1＋2i对应的点为(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以对应的复数为－2＋i. 答案：B　 (2)已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)． ①在实轴上；②在第三象限． 解析：复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1，2a－1). ①若z对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得a＝. ②若z对应的点在第三象限，则有 解得－1<a<. 题型2复数的模的计算 例3　(1)已知复数z＝3＋4i(i为虚数单位)，则||＝________． (2)若复数z＝(a＋2)－2ai的模等于，求实数a的值． 5 解析：(1)方法一　因为复数z＝3＋4i，所以＝3－4i，故＝＝5. 方法二　＝|z|＝＝5. (2)由已知得＝，即5a2＋4a－1＝0，解得a＝或a＝－1，故实数a