利用导数研究函数单调性讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

02 利用导数研究函数单调性 【知识梳理】 一、导数与函数单调性的关系 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减. 二、导函数图象 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向下或向上）；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 三、含参单调性讨论 1. 求定义域→2.求导数3. 数轴标根→4.判断导数正负→5.函数单调性 （1） （2）因式分解 →讨论参数 【题型精讲】 题型一、导数与函数单调性的关系 例1.设函数.当时，求函数的单调区间. 例2.已知函数，则的单调递增区间为__________. 例3.求函数的单调区间. 例4.已知函数，若，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 题型二、导函数图象 例5.已知函数的图象如图所示，则函数图象大致为（ ）. 例6.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）. 例7.已知定义在上的函数满足，为的导函数，且导函数的图象如图所示.则不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 题型三、含参单调性讨论 例8. （2020・新课标III）已知函数.讨论的单调性. 例9. 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴. （1）确定与的关系； （2）若，试讨论函数的单调性. 例10. 设函数. （1）讨论函数的单调性； 例11. 已知函数，其中. （1）当时，求函数图象在点处的切线方程； （2）试讨论函数的单调性. 例12. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若直线是函数图象的切线，求的最小值. 例13. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）若函数为上的单调函数，求实数的取值范围. 【课后作业】 一、单选题 1．（2023下·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·广东深圳·高二红岭中学校考期中）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022下·广东深圳·高二红岭中学校考期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2021下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023下·广东深圳·高二校联考期中）定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．在上是“弱减函数” D．若在上是“弱减函数”，则 三、填空题 6．（2023下·广东深圳·高二校考期中）已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是 ． 7．（2022下·广东深圳·高二校考期中）已知为定义在上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的取值范围是 . 8．（2022下·广东深圳·高二深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 ，若在区间上存在单调递增区间，则的取值范围是 ． 四、解答题 9．（2023下·广东深圳·高二校考期中）已知数，，为的导函数，且. （1）讨论函数的单调性； （2）如果函数在定义域内单调递减，求实数t的取值范围. 10．（2022下·广东深圳·高二期末）已知函数. （1）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$