2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，已知抛物线经过，两点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线上的一个动点，当点到点，的距离之和最短时，求点的坐标． (3)已知为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中是否存在一点，恰好使得，，，为顶点平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程，若不存在，说明理由． 2．已知抛物线． (1)将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线的解析式为 ． (2)已知，，，交y轴于M，N点在直线上方的抛物线上．若使得的N点只有一个，求a的值 (3)在（1）所得的抛物线中，令，过作直线与此抛物线交于B、C两点，作轴于E，轴于F．求证：． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当的值最小时，求点M的坐标； (3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，求的最大面积； (4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点在抛物线第一象限上，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式：（不要求写出的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，点在抛物线第四象限上，连接、，与交于点，，若，求点的坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标． 6．如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．设点的横坐标为点，请用含的代数式表示矩形的周长，并求矩形周长的最大值． 7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，已知动点在直线上方的抛物线上，动点在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，求到的距离最大值及此时的点坐标； (3)连接、，请直接写出当为等腰直角三角形时点的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标． 9．如图1，抛物线与x轴于交，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作于点E．      (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标； (3)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N. 试探究是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由． 10．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为线段上的一动点（点D不与B，C点重合）．      (1)直接写出A，B两点坐标； (2)如图1，当时，求周长的最小值； (3)过动点D作，与二次函数在第一象限的图象交于点P，连接，记与的面积和为S，①如图2，若点C的坐标为，当S取最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值；②若S的最大值为，直接写出a的值． 11．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上的点．    (1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； (3)若点是对称轴上的点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 12．二次函数（其中是常数，且）的图象与轴分别交于点（点在点左侧），在轴交于，点在第四象限的抛物线上，连接，过点作射线交抛物线于另一点平分，作轴于，若点，的横坐标分别为．    (1)直接写出； (2)求的值； (3)当时，求证：轴． 13．抛物线