专题07极化恒等式、奔驰定理、等高线及三角形四心在平面向量的应用（5知识点+5题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题7：极化恒等式、奔驰定理、等高线及三角形四心在平面向量中的应用（5知识点+5题型） 极化恒等式、奔驰定理、等高线及三角形四心在平面向量中的应用 常考题型 等和(高)线定理 三角形四心与奔驰定理的关系及证明 三角形四心及向量表示 奔驰定理 极化恒等式及其推论 题型一：极化恒等式的应用 题型二：三角形四心在向量中的应用 题型三：奔驰定理在向量中的应用 题型四：三角形四心与奔驰定理的应用 题型五：等和(高)线定理在平面向量的应用 知识点一：极化恒等式及其推论 （1）极化恒等式： ①公式推导： ②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． ①推导过程：由. ②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． （4）极化恒等式的适用范围： ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 知识点二：奔驰定理 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，求证：. 延长与边相交于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 所以. （3）奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 知识点三：三角形四心及向量表示 （1）三角形重心的概念及向量表示 ①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1． ②重心的向量表示：如图所示在中，为重心 证明：，所以 ③重心坐标公式，设，，，则△ABC的重心坐标为． （2）三角形垂心的概念及向量表示 ①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心． ②垂心的向量表示：如图所示在中，为重心 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以为重心 （3）三角形内心的概念及向量表示 ①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心． ②内心的向量表示：如图所示在中，为重心且 （4）三角形外心的概念及向量表示 ①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心． ②外心的向量表示：若为内一点，则为的外心． 知识点四：三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 知识点五：等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立． (2)平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和(高)线． ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过O点时，k＝0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 题型一：极化恒等式的应用 解题思路：（1）极化恒等式： （2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 例1．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 例2．在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例3．已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．8 D． 变式训练 4．圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A．