专题突破：解三角形中的最值与范围问题（4大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

专题突破：解三角形中的最值与范围问题 一、求最值范围问题的预备知识： 1、正弦定理：（其中为外接圆的半径） 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。 当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。 2、余弦定理： 3、三角形的面积公式： （1）（为三角形的底，为对应的高） （2）， 4、三角形内角和定理： （1）正余弦关系式：（其余两角也有相同结论） （2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。 5、两角和与差的正、余弦公式： 6、降幂公式： 7、辅助角公式：，其中 8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值 二、三角形中的最值范围问题处理方法 法一：利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 法二：转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。 三、边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 题型一 与角度有关的最值与范围 【例1】（22-23高一下·云南保山·期中）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一下·江苏南京·期中）已知锐角中，角的对边分别为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一下·河南·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足. （1）求角的大小； （2）求的最大值. 【变式1-3】（22-23高一下·湖北·期末）记的内角，，的对边分别为，，，且边上的高. （1）若，求； （2）已知中角和是锐角，求的最小值. 【变式1-4】（22-23高一下·江苏南通·期中）在中，内角所对的边分别为，，垂足为（在边上且异于端点），设，且满足. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 题型二 与边长有关的最值与范围 【例2】（22-23高一下·江苏·阶段练习）已知的内角A，B，C满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，若，则的取值不可能是（ ） A．7 B． C．8 D． 【变式2-1】（22-23高一下·江苏连云港·期中）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ． 【变式2-2】（22-23高一下·江苏·阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 【变式2-3】（23-24高一下·山东滨州·开学考试）从下面两个条件中任选一个补全题干，并回答相关问题．已知在三角形中， 条件①： 条件②： （1）求； （2）若该三角形是锐角三角形，求的取值范围． 【变式2-4】（23-24高三上·山东日照·期中）如图，在四边形中，，，，，为边的中点. （1）若，求的面积； （2）当变化时，求长度的最大值. 题型三 与周长有关的最值与范围 【例3】（22-23高一下·福建福州·期中）设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·上海·开学考试）设的内角所对的边分别为，，，若，且，则的周长的取值范围是 ． 【变式3-2】（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）已知的内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积． 【变式3-3】（22-23高一下·安徽·期中）已知中角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长的最小值. 【变式3-4】（22-23高一下·江苏南通·阶段练习）设函数． （1）当时，求函数的最