导数专题：导数与不等式成立问题（6大题型）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

导数专题：导数与不等式成立问题 一、不等式证明的常用思路 1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； 2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． 在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)， 但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”． 3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； 4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 5、双变量不等式的处理策略： 含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式， 具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元. 二、不等式成立问题常用的转化规则 1、单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立 （1）， （2）， （3）， （4）， 2、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 三、利用导数证明不等式的常用方法 1、直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； 2、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； 3、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 四、证明与数列有关的不等式 1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量。通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得来。 2、已知函数式为指数不等式（或对数不等式），而待证不等式为与对数有关的不等式（或与指数有关的不等式），还有注意指、对数式的互化，如可化为 题型一 不等式恒成立求参问题 【例1】（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ） A． B．1 C．e D． 【变式1-1】（22-23高二下·四川雅安·阶段练习）已知，恒成立，则的取值范围为 . 【变式1-2】（22-23高二下·河南·期中）若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是 ． 【变式1-3】（23-24高二下·山东青岛·开学考试）已知函数， （1）若，求函数在处的切线方程： （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-4】（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-5】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数． （1）求的极值； （2）对于，都有，试求实数a的取值范围． 题型二 不等式能成立求参问题 【例2】（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高三·四川·阶段测试）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ． 【变式2-3】（22-23高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知. （1）求函数的最小值； （2）若存在，使成立，求实数a的取值范围； 【变式2-4】（22-23高二下·黑龙江双鸭山·期末）已知函数． （1）求的单调区间； （2）存在且，使成立，求的取值范围． 【变式2-5】（22-23高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，且，其中． （1）求函数的单调区间； （2）若存在，使得成立，求实数b的取值范围． 题型三 单变量不等式的证明 【例3】（23-24高二上·福建福州·期末）设函数，在点处的切线斜率为2. （1）求的值； （2）证明：. 【变式3-1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知函数． （1）求的最小值； （2）设，证明： 【变式3-2】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 【变式3-3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中. （1）求的值和的方程； （2）证明：当时，. 【变式3-4】（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【变式3-5】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当，证明：. 题型四 双变量不等式的证明 【例4】