7.3 复数的三角表示（5大题型，讲义）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

7.3 复数的三角表示 1、通过复数的几何意义，了解复数的三角表示； 2、了解复数的代数表示与三角表示之间的关系； 3、了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义； 4、发展数学抽象和数学运算的核心素养。 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 二、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 三、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。 3、复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时， 四、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。 题型一 复数的代数式与三角式互化 【例1】（22-23高一·全国·课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一·全国·课时练习）的三角形式是 ． 【变式1-2】（22-23高一·全国·课时练习）把下列复数化为三角形式． （1）5 （2） （3） （4）． 【变式1-3】（22-23高一·全国·课时练习）把下列复数表示成三角形式． （1） （2） （3） （4） 题型二 求复数的辅角主值 【例2】（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23高一·全国·课时练习）复数（i为虚数单位）的辐角主值为 ． 【变式2-2】（22-23高一·全国·课时练习）的辐角主值为（ ）． A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23高一·全国·课时练习）已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是 ． 题型三 三角形式下复数的乘法运算 【例3】（2023高一下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）. 【变式3-1】（22-23高一·全国·课时练习）设复数，求证： （1），，1都是1的立方根； （2）． 【变式3-2】（22-23高二上·广东惠州·阶段练习）法国数学家棣莫弗（1667—1754）发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（ ） A． B．1 C． D． 【变式3-3】（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 题型四 三角形式下复数的除法运算 【例4】（2022高一·全国·专题练习）计算： ．(用代数形式表示) 【变式4-1】（2023高一下·全国·专题练习）计算：． 【变式4-2】（22-23高一·全国·课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一·全国·课时练习）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： ． 【变式4-4】（22-23高一·全国·课时练习）计算： （1）； （2）； （3）． 题型五 复数乘、除运算的几何意义 【例5】（