7.3 复数的三角表示（六大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

7．3 复数的三角表示 【题型归纳目录】 题型一：复数的三角形式 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 题型三：把复数表示成代数形式 题型四：复数的三角形式乘法运算 题型五：复数的三角形式除法运算 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【知识点梳理】 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【典型例题】 题型一：复数的三角形式 【方法技巧与总结】 解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤） （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 例1．（2023·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】复数的三角表示为：，其中，B选项满足. 故选：B. 例2．（2023春·高一课时练习）复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，将复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转， 可得. 故选：B 例3．（2023·高一课时练习）复数改写成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ，， 又，∴， ∴ 故选：B． 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 例4．（2023·高一课时练习）复数的三角形式为______． 【答案】 【解析】为复数的三角形式，其中为模长，为辐角， -3对应，故， 故答案为： 例5．（2023·高一课时练习）改写成三角形式为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】设复数对应的点为，则，， 设复数的辐角为，则，， 则，， 所以复数的三角形式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 例6．（2023·高一课时练习）将复数化为三角形式：______． 【答案】 【解析】复数中，，设为复数的辐角主值， 又 所以. 故答案为：. 变式1．（2023·全国·高一专题练习）复数的三角形式为___________． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 题型三：把复数表示成代数形式 【方法技巧与总结】 解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项） （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 例7．（2023·高一课时练习）复数10表示成代数形式为________． 【答案】－5－5i 【解析】10＝10＝－5－5i． 故答案为： 例8．（2023·全国·高一专题练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是______． 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 例9．（2023春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示). 【答案】 【解析】向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到， 可得与对应的复数为 ， 故答案为：． 变式2．（2023春·高一课时练习）将复数化为代数形式为___________ 【答案】 【解析】由题得. 故答案为： 变式3．（2023·高一课时练习）将复数化成代数形式，正确的是（    ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】D 【解析】 故选：D. 题型四：复数的三角形式乘法运算 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式