3 长方体和正方体（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版

2024年人教版五年级下册数学 第三章 长方体和正方体 讲义 一、基础知识讲解 长方体和正方体是常见的几何体，它们都有六个面、十二条棱和八个顶点。长方体相对的面相等，相对的棱平行且相等；正方体是长、宽、高都相等的长方体，它的六个面都是正方形。 1. 长方体的表面积：长方体表面积 = 2 × (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高)。 2. 正方体的表面积：正方体表面积 = 6 × 边长²。 3. 长方体的体积：长方体体积 = 长 × 宽 × 高。 4. 正方体的体积：正方体体积 = 边长³。 二、例题解析 例题1：计算长方体的表面积 一个长方体，长8cm，宽6cm，高5cm，求它的表面积。 解析： 根据长方体的表面积公式，我们可以计算出： 表面积 = 2 × (8 × 6 + 8 × 5 + 6 × 5) = 2 × (48 + 40 + 30) = 2 × 118 = 236cm²。 **答案：**长方体的表面积为236cm²。 例题2：计算正方体的体积 一个正方体，棱长是7cm，求它的体积。 解析： 根据正方体的体积公式，我们可以计算出： 体积 = 7³ = 343cm³。 **答案：**正方体的体积为343cm³。 例题3：长方体变正方体 一个长方体，长、宽、高分别为9cm、6cm、3cm。如果将其改造成一个正方体，且体积不变，求新正方体的棱长。 解析： 首先，我们需要计算长方体的体积：体积 = 9 × 6 × 3 = 162cm³。 因为改造后的正方体体积不变，所以正方体的体积也是162cm³。 根据正方体的体积公式，我们可以得到：边长³ = 162，解得边长 = ³√162。 **答案：**新正方体的棱长为³√162cm。 三、表格总结 以下是关于长方体和正方体的一些重要知识点的表格总结： 知识点 描述 公式 长方体表面积 长方体六个面的面积之和 2 × (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高) 正方体表面积 正方体六个面的面积之和 6 × 边长² 长方体体积 长方体所占空间的大小 长 × 宽 × 高 正方体体积 正方体所占空间的大小 边长³ 四、考法技法提炼 1. 表面积计算：注意长方体和正方体的面是如何构成的，并正确应用表面积的公式。 2. 体积计算：体积计算通常较为直接，注意单位的一致性。 3. 空间想象：对于涉及改造形状的题目，需要有较强的空间想象能力，能够理解形状变化前后的关系。 4. 单位换算：在实际问题中，可能需要进行单位换算，如厘米和米之间的换算。 五、易错题解析 易错点1：表面积和体积混淆 例如：一个正方体，棱长是5cm，求它的“面积”。 学生可能会直接计算体积，而忽略了题目中问的是“面积”，实际上应该求的是表面积。 易错点2：单位不一致 例如：一个长方体游泳池，长50m，宽25m，深2m。如果要在游泳池的底部和四周贴上瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？ 学生在计算时，可能会忘记将游泳池的深度从米转换为厘米或忽略单位，导致计算结果错误。 六、针对练习 1. 选择题 (1) 一个正方体的棱长扩大2倍，它的体积扩大（ ）倍。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 (2) 一个长方体，长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，它的棱长总和是（ ）cm。 A. 12 B. 24 C. 48 D. 72 2. 填空题 (1) 一个长方体的长、宽、高分别是8dm、5dm、4dm，它的体积是________dm³。 (2) 一个正方体的棱长是6cm，它的表面积是________cm²。 3. 计算题 (1) 一个长方体的长是12cm，宽是8cm，高是5cm，求它的体积。 (2) 一个正方体的棱长之和是48cm，求它的表面积。 4. 应用题 (1) 有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8dm，宽4dm，高6dm，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ (2) 一个正方体纸盒的棱长是10cm，里面放了一些体积为1cm³的小正方体，纸盒正好被填满。请问里面放了多少个小正方体？ 七、练习解析与答案 选择题解析与答案 (1)【答案】D 【解析】正方体的体积是边长的三次方，棱长扩大2倍后，新的体积是(2a)³ = 8a³，是原体积的8倍。 (2)【答案】D 【解析】长方体有12条棱，分别对应长、宽、高各有4条。棱长总和 = 4 × (3 + 4 + 5) = 48cm。 填空题解析与答案 (1)【答案】160 【解析】体积 = 长 × 宽 × 高 = 8 × 5 × 4 = 160dm³。 (2)【答案】216 【解析】正方体有6个面，每个面的面积是边长²。表面积 = 6 × 边长² = 6 × 6² = 216cm²。 计算题解析 (1)【答案】480cm³ 【解析】体积 = 长 × 宽