6.2.4向量的数量积 学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 学习目标： 1．通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养． 2．通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养. 一、基础知识 1．数量积的概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ( ≤θ≤ )叫做向量与的夹角. 注意：①当θ＝0时，向量与 ； ②当θ＝时，向量与 ，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与 ． (2)向量的数量积: 已知两个 向量与，我们把数量||||cosθ叫做向量与的 (或 )，记作·，即·＝ (θ为，的夹角)． 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 注意：(1)“”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量，不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零． 2．投影向量 （1）设，是两个非零向量，＝，＝，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做 的投影向量. （2）在平面内任取一点O，作＝，＝，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1就是向量在向量b上的投影向量，且1＝ . 三．1.向量的数量积的性质及运算律类型： (1)＝＝ . (2)⊥⇔ . (3)当，同向时，·＝ ；当，反向时，·＝ .特别地，·＝___或||＝ . (4)|·| ||||. (5)cos θ＝ . 2.数量积的运算律：对于向量，，c和实数λ，有(1)·＝ (交换律). (2)(λ)·＝ ＝ (结合律). (3)(＋)·c＝ (分配律). 【预习自测】 1、已知单位向量，，夹角为60°，则·＝(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．－ 2、已知向量，满足||＝1，||＝4，且·＝2，则与的夹角θ为(　　) A． B． C． D． 3、已知向量，b满足||＝2，||＝，且与的夹角为60°，那么·＝________. 2、 典例剖析 【例1】　(1)如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：①·；②·. (2)已知||＝6，||＝4，与b的夹角为60°，求(＋2)·(＋3)． 【例2】已知，为单位向量，当向量的夹角分别等于，，时，求向量在向量上的投影向量 【例3】已知向量与夹角为45°，且||＝1，|2＋|＝，求||. 【例4】　(1)已知非零向量，满足＋3与7－5互相垂直，－4与7－2互相垂直，求与的夹角． (2)已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量1＋k与k＋的夹角为锐角，则k的取值范围为________． 3、 课后巩固 1．在▱ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60°　　　C．120°　 D．150° 2．已知平面向量，满足·(＋)＝3且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为(　　) A． B． C． D． 3.下列命题正确的是(　　 ) A.|·|＝|||| B.·≠0⇔||＋||≠0 C.·＝0⇔||||＝0 D.(＋)·＝·＋· 4. 已知向量，，，_______． 5.已知向量与的夹角为120°，且||＝4，||＝2，则|3－4|＝ ． 6.已知||＝3，||＝5，·＝－12，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ． 7. △ABC中， . 8.(多选题)已知下列命题错误的（ ）： A.若； B.△ABC中，若则该三角形是钝角三角形； C.若； D.已知向量，，则有. 9. 已知正方形ABCD边长为3，点E是AB边上的动点，则的最大值为 ． 10.已知向量，的夹角为60°，且＝2，||＝1，若＝2－，＝＋2， 求：(1)·； (2)|＋2|. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$