6.2.4组合数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.4 组合数 一、知识回顾 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 1.组合的定义 2.两个排列与组合的相同点、不同点： 共同点: 都是“从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关. 只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而 两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何，都是相 同的. 构造排列可以分成两步完成，先取后排；而构造组合就是 其中一个步骤. 一、知识回顾 3.排列数 4.排列数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. (m、n∈N*，m≤n) 规定：0!=1 =n!=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1 特别地， 全排列 二、组合数 你能类比排列数的概念，说出组合数的概念吗？ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示. 符号 中的C是英文 combination(组合)的第 一个字母.组合数还可以用符号 表示. 例如: 从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为 . 从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为 . 三、探究新知 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同” “元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数 甲乙 甲乙，乙甲 甲丙 甲丙，丙甲 乙丙 乙丙，丙乙 组合 排列 三、探究新知 运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 ．设这4个元素为a、b、c、d，那么从中取出3个元素的排列数 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如下图所示，因此组合数 4 a b c a b c b a c c a b a c b b c a c b a 组合 排列 a b d a b d b a d d a b a d b b d a d b a a c d a c d c a d d a c a d c c d a d c a b c d b c d c b d d b c b d c c d b d c b 三、探究新知 a b c a b c b a c c a b a c b b c a c b a 组合 排列 a b d a b d b a d d a b a d b b d a d b a a c d a c d c a d d a c a d c c d a d c a b c d b c d c b d d b c b d c c d b d c b 观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数 ”: 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有 种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法. 于是，根据分步乘法计数原理，有 三、探究新知 即 仿照上面做法，你能说出理解求“从n个元素中取出m个元素的排列数 ”的两个步骤及排列数和组合数的关系式吗？ 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有 种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有 即 四、组合数公式 (m、n∈N*，并且m≤n) 所以，上面的组合数公式还可以写成 因为 另外，规定 . 五、精典例题 例1 计算： (1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式,你对公式的选择有什么想法? 五、精典例题 例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任 意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 五、精典例题 从2件次品中抽出1件的抽法数可以是 吗? 五、精典例题 例3